Розділ 20. Елементи дисперсійного аналізу

Дисперсійний аналіз — це статистичний метод аналізу результатів спостережень, які залежать від різних, одночасно діючих факторів, вибір найбільш важливих із них і оцінка їхнього впливу.

Однофакторний дисперсійний аналіз. В основі однофакторного аналізу лежить теоретично-ймовірнісна схема:

де

— спостереження величини, яку досліджують;

— число спостережень при i-му значенні фактору;

— загальне середнє;

— ефект фактору;

— похибка спостережень, незалежні випадкові величини, що мають нормальний розподіл тобто

Потрібно перевірити гіпотезу:

тобто фактор не впливає на результати спостережень.

Нехай — загальне середнє,

— групове середнє,

— сума квадратів відхилень спостережень від загального середнього,

де — сума квадратів відхилень між групами,

— сума квадратів відхилень всередині групи.

— незміщена оцінка

Статистика критерію:

Для перевірки гіпотези маємо критерій: якщо то гіпотеза відхиляється, а при приймається. Величина знаходиться за таблицею розподілу Фішера—Снедекора (таблиця 7 додатка),

Двофакторний дисперсійний аналіз

— число рівнів фактора A;

— число рівнів фактора B;

— ефект фактора A;

— ефект фактора B;

— ефект взаємодії факторів.

Якщо всі тобто при кожному рівні фактора A і фактора B маємо лише одне спостереження, то

Розглянемо цю модель.

де

— сума квадратів відхилень за фактором A,

— сума квадратів відхилень за фактором B,

— залишкова сума квадратів.

— незміщена оцінка

Критерій перевірки гіпотези : якщо то гіпотеза відхиляється, якщо — приймається, за умови, що

Аналогічно, відхиляється, якщо приймається, якщо , за умови, що

Приклад розв’язання задачі

Задача 1. Перевірити гіпотези значущості факторів для двофакторного комплексу з одним спостереженням, результати якого подано в таблиці. Рівень значущості =0,95.

	1	2	3	2
	5	6	10	7
	3	4	6,5	4,5

Розв'язок. загальне середнє Тоді

,

Отримані дані можна записати у вигляді таблиці:

Компонента дисперсій	Сума квадратів	Число степенів свободи	Оцінка дисперсії
Між середніми в рядках (фактор A)	37,5	1	37,5
Між середніми в стовпчиках (фактор B)	13,0	2	6,5
Залишкова	3,0	2	1,5
Повна	53,5	5	10,7

Обчислюємо та :

Для рівня значущості =0,05 та степенів свободи за таблицею Фішера—Снедекора (таблиця 7 додатка) знаходимо:

Порівнюючи табличні значення з обчисленими, маємо:

Отримані результати дають змогу зробити висновок: нульова гіпотеза про рівність середніх у рядках не підтверджується, тобто вплив фактора A на досліджувану ознаку значний; нульова гіпотеза про рівність середніх у стовпчиках не заперечується, тобто вплив фактора B на досліджувану ознаку незначний.

Задачі

20.1. З чотирьох партій сировини для текстильної промисловості відібрано по 5 зразків і проведено випробування на визначення величини розривного навантаження. Результати випробувань наведено в таблиці:

Номер партії	Розривні навантаження
1 2 3 4	200 190 230 150	140 150 190 170	170 210 200 150	145 150 190 170	165 150 200 180

З’ясувати, чи суттєвий вплив різних партій сировини (фактор A) на величину розривного навантаження,  = 0,05.

20.2. У таблиці наведено дані про кількість угод, заключених фірмою, завдяки різноманітним рекламним агенціям та всіляким засобам реклами.

Фактор A Рекламна агенція	Фактор В
	Газета	Радіо	Телебачення
1	12	20	16
2	22	24	12

За допомогою двофакторного дисперсійного аналізу з’ясувати, чи суттєвий вплив факторів A (рекламна агенція) та B (засоби реклами) на кількість укладених угод,  = 0,05.

20.3. За допомогою двофакторного дисперсійного аналізу з’ясувати,

чи суттєвий вплив факторів A та B на результати спостережень,  = 0,05.

Фактор A	Фактор B
	1	2	3
1	1	2	3
2	5	6	10

20.4. У таблиці наведено квартальні значення експорту товарів з України за останні 4 роки (млн. дол. США). Зробити висновок, чи є суттєвим номер кварталу, =0,05.

Квартал	Експорт товарів
1 квартал	2751	3544	3527	3443
2 квартал	3505	4208	3858	3750
3 квартал	3859	3905	3945	3174
4 квартал	4129	3890	4088	3332

20.5. У таблиці подано ціну квартир у різних районах Києва (в у. о.). Зробити висновок про суттєвість впливу обраного району на ціну квартири, =0,05.

Район	Ціна квартир
Дарницький	5000	17200	16800	6900	29900	18000
Печерський	8200	6200	45000	32000	25000	13000
Старокиївський	35000	37000	42000	12000	19000	21000
Харківський	6500	6400	11200	13100	18000	4600

20.6. У таблиці подано ціну (в у. о.) квартир залежно від району Києва. Зробити висновок про вплив престижності району на ціну квартир, =0,05.

Район	1-кімнатна	2-кімнатна	3-кімнатна	4-кімнатна	5-кімнатна
Дарницький	5000	12500	24800	38000	55000
Печерський	8200	14200	31000	48000	65000
Старокиївський	9200	17000	29000	51000	80000
Харківський	6500	15400	22200	34500	50000

20.7. На 4 заводах, які належать одному холдингу, вивчали вплив величини заробітної плати на продуктивність праці, тобто кількість оброблених за робочу зміну деталей.

Завод	Заробітна плата
	170 гр.	240 гр.	360 гр.	1000 гр.
1	12	14	18	19
2	13	14	23	23
3	11	13	17	18
4	15	15	17	20

Зробіть висновок щодо доцільності підвищення заробітної плати на заводах холдинга, =0,05.