Розділ 18. Перевірка гіпотез про рівність математичних сподівань та дисперсій для нормальних сукупностей

Нехай  та  — дві незалежні випадкові величини, кожна з яких має нормальний розподіл та У результаті спостережень цих випадкових величин отримано дві вибірки =(₁, ₂, …, _n1) та =(₁, ₂, …, _n2).

Гіпотеза про рівність математичних сподівань при відомих дисперсіях. Необхідно перевірити гіпотезу проти альтернативної гіпотези та — відомі. Критична множина задається нерівністю:

— реалізація вибірок  та ,

 — похибка першого роду, тобто ймовірність прийняти гіпотезу H₁, коли правильна H₀, 2Ф(C_)=1– (див. таблицю 2 додатка).

Якщо (X, Y)R_n1, то приймається гіпотеза H₁, якщо ж (X, Y)R_n1, то приймається H₀.

Гіпотеза про рівність математичних сподівань при невідомих дисперсіях. Нехай потрібно перевірити такі ж гіпотези, як і в попередньому випадку, але і величина невідома. Критична множина задається нерівністю:

де

Число знаходиться за таблицею Стьюдента (таблиця 6 додатка) при числі степенів свободи і

Гіпотеза про рівність дисперсій при невідомих математичних сподіваннях. Нехай тепер потрібно перевірити гіпотезу проти альтернативної гіпотези При справедливості гіпотези H₀ випадкова величина має розподіл Фішера—Снедекора з степенями свободи. Тоді критична множина задається нерівністю:

де чого завжди можна досягти, змінивши індекси, Величина знаходиться за таблицею розподілу Фішера—Снедекора (таблиця 7 додатка).

Гіпотеза про рівність дисперсій при відомих математичних сподіваннях. Ця гіпотеза перевіряється аналогічно попередній, але в даному випадку , де Якщо правильна гіпотеза то випадкова величина F має розподіл Фішера—Снедекора з степенями свободи. Критична множина задається нерівністю:

Приклади розв’язання задач

Задача 1. За двома вибірками об’єму з генеральних сукупностей випадкових величин  та , які мають нормальний розподіл і визначено Перевірити гіпотезу при

Розв’язок. Маємо Порівняємо значення C з (таблиця 4 додатка). Оскільки 2,59>2,57, то гіпотезу про рівність математичних сподівань відхиляємо.

Задача 2. За двома вибірками об’єму з генеральних сукупностей випадкових величин  та , які мають нормальний розподіл, підраховано вибіркові дисперсії і Перевірити гіпотезу про рівність дисперсій випадкових величин  та , =0,05.

Розв’язок. Обчислимо Порівняємо F з Маємо 1,68<2,65. Тоді гіпотеза про рівність дисперсій  та  приймається.

Задачі

18.1. У результаті спостережень над випадковими величинами  та  отримано такі вибірки:

а)

:	45, 48, 53, 44, 59, 60, 41, 43, 57;
:	51, 50,42, 44, 39, 40, 48, 38, 59, 55, 51.

б)

:	2,50; 2,50; 2,60; 2,75; 2,80; 2,80; 2,95;
:	2,50; 2,80; 2,85; 2,90; 2,90; 2,95; 3,40.

Чи можна вважати, що випадкові величини мають однакові математичні сподівання? Похибка першого роду дорівнює 0,05. Припускається, що випадкові величини  та  мають нормальний розподіл з рівними дисперсіями.

18.2. З нормальної генеральної сукупності з здобуто дві вибірки об’ємом Середнє першої вибірки а другої Чи можна пояснити цю розбіжність випадковими причинами при похибці першого роду 0,05?

18.3. Одним і тим же приладом було зроблено дві серії вимірів:

1) 2,5 3,2 3,5 3,8 3,5.

2) 2,0 2,7 2,5 2,9 2,3 2,6.

а) Припускаючи, що виміри мають нормальний розподіл з однаковими дисперсіями, перевірити гіпотезу про рівність математичних сподівань при =0,05;

б) Перевірити гіпотезу про те, що дисперсії однакові для цих вимірів,  = 0,05.

в) Перевірити гіпотезу про те, що дисперсії однакові для цих вимірів, якщо

18.4. — вибіркові середні у двох вибірках об’єму з нормальних сукупностей і Перевірити гіпотезу проти альтернативної Похибка першого роду 0,01.

18.5. За двома вибірками з нормальних сукупностей об’єму підраховано і При =0,05 перевірити гіпотезу про рівність дисперсій цих двох нормальних сукупностей.

18.6. У результаті спостережень випадкових величин  та  отримано вибірки:

	1	2	2,5	3
	2	1	3	4
	-1	2	2,5	3
	3	2	1	2

Чи можна вважати, що випадкові величини мають однакові математичні сподівання? Вважати, що  та  — незалежні випадкові величини і мають нормальний розподіл з рівними дисперсіями,  = 0,05.