Приклади розв’язання задач

Задача 1. Нехай вибірку подано у вигляді таблиці частот:

Інтервал	[0; 1)	[1; 2)	[2; 3)	[3; 4)	[4; 5)	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10]
	35	16	15	17	17	19	11	16	30	24

Перевірити гіпотезу (рівномірний розподіл на [0; 10], =0,05.

Розв’язок. Нехай — середина i-го інтервалу. Емпіричну функцію розподілу можна підрахувати за формулою:

.

Усі результати обчислень наведемо у таблиці (n=200):

Інтервал	[0; 1)	[1; 2)	[2; 3)	[3; 4)	[4; 5)	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)
	35	16	15	17	17	19	11	16	30	24
	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5
	0,087	0,215	0,292	0,372	0,457	0,547	0,622	0,69	0,805	0,94
	0,05	0,15	0,25	0,35	0,45	0,55	0,65	0,75	0,85	0,95
	0,037	0,065	0,042	0,022	0,007	0,003	0,028	0,06	0,045	0,01

Оскільки то гіпотеза приймається.

Задача 2. За спостереженнями, наведеними в таблиці, за допомогою критерію перевірити гіпотезу, що випадкова величина має нормальний розподіл (=0,05).

Інтервал	[-4; 0)	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6]
	20	40	30	10

Розв’язок. Обчислимо оцінки параметрів нормального розподілу за вибіркою.

Тепер перейдемо до підрахунку ймовірностей

(Див. таблицю 2 додатка). Далі результати наведемо у таблиці:

Інтервал	[-4; 0)	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)
	20	40	30	10
	0,2494	0,3595	0,2765	0,095
	24,94	35,95	27,65	9,5
	24,40	16,40	5,52	0,25
	0,98	0,46	0,2	0,02

Кількість інтервалів а кількість невідомих параметрів Тоді число степенів свободи

Отже, 1,66<3,8, гіпотеза приймається.

Задача 3. За допомогою критерію перевірити гіпотезу однорідності двох вибірок (=0,05).

	1	2	3	4
	40	26	24	10
	30	20	30	20
	70	46	54	30

Розв’язок. За умовою задачі Тоді

Отже, оскільки 6,2<7,8, то гіпотеза однорідності приймається.

Задача 4. Проведено 300 спостережень одночасно над випадковими величинами  та , які набувають значеннь 1, 2 і 1, 2, 3 відповідно. Кількості спостережуваних пар наведено в таблиці.

	1	2	3
1	32	68	50	150
2	40	70	40	150
	72	138	90	300

Перевірити за допомогою критерію , чи є незалежними випадкові величини  та  при рівні значущості 0,01.

Розв’язок. Знайдемо величини Матриця буде такою:

а матриця . Далі знайдемо матрицю, елементами якої будуть величини Дістанемо Підсумувавши елементи матриці, знаходимо, що Число степенів свободи Оскільки то гіпотеза незалежності приймається.

Задачі

17.1. За спостереженнями, наведеними в таблиці, за допомогою критерію перевірити гіпотезу, що випадкова величина має пуассонівський розподіл:

а=0,05

	0	1	2	3	4
	110	65	21	3	1

б) =0,05

	0	1	2	3	4	5	6	7
	112	168	130	68	32	5	1	1

в) =0,05

	0	1	2	3	4	5
	229	211	93	35	7	1

г) =0,01

	0	1	2	3	4	5	6	7
	8	17	16	10	6	2	0	1

д) =0,1

	0	1	2	3	4	5
	376	100	81	35	7	1

17.2. За спостереженнями, наведеними в таблиці, за допомогою критерію або критерію Колмогорова перевірити згоду з рівномірним розподілом. У першому рядку таблиці вказано ліву границю інтервалу (i — номер інтервалу ).

а) =0,05

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	45	41	34	54	39	43	41	33	37	41	47	39

б) =0,1

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	74	92	83	79	80	73	77	75	76	91

в) =0,01

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	16	15	19	13	14	19	14	11	13	16

17.3. За спостереженнями, наведеними в таблиці, за допомогою критерію Колмогорова або критерію перевірити згоду з нормальним розподілом:

а) =0,05

Інтервал	[0; 5)	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)
	15	75	100	50	10

б) =0,01

Інтервал	[3,0; 3,6)	[3,6; 4,2)	[4,2; 4,8)	[4,8; 5,4)	[5,4; 6,0)	[6,0; 6,6)	[6,6; 7,2)
	2	8	35	43	22	15	5

в) =0,05

Інтервал	[-3; -1)	[-1; 0)	[0; 1)	[1; 2)	[2; 3)	[3; 5)
	13	15	24	25	13	10

г) =0,1

Інтервал	[-8; -2)	[-2; 4)	[4; 10)	[10; 16)
	10	50	30	10

д) =0,05

Інтервал	[-4; 0)	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)
	20	40	30	10

17.4. З продукції двох верстатів зробили дві вибірки по 38 виробів:

Розмір деталі	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56
	2	1	2	2	1	1	4	1	1	0	5	0	0	6	4	3	5
	2	0	0	2	3	0	1	6	0	5	2	3	1	5	3	3	2

Перевірити, використовуючи критерій Смирнова—Колмогорова, гіпотезу про те, що ці вибірки належать одній і тій же генеральній сукупності при рівні значущості =0,1.

17.5. У першому потоці з 300 абітурієнтів оцінку «2» отримало 33 чоловіка, «3» — 43, «4» — 80, «5» — 144, а в другому потоці інші 300 абітурієнтів мали такий результат: «2» — 39, «3» — 35, «4» — 72, «5» — 154. Чи можна вважати обидва потоки однорідними при рівні значущості 0,05?

17.6. За допомогою критерію перевірити гіпотезу однорідності двох вибірок, наведених у таблиці (=0,05).

	1	2	3	4	5	6	7	8
	4	4	15	51	22	3	1	0
	1	1	8	43	34	7	3	3

17.7. Вісім незалежних рівноточкових вимірів у першій лабораторії дали результати: 0,869; 0,874; 0,867; 0,875; 0,870; 0,869; 0,864; 0,872. Після десяти рівноточкових вимірів у другій лабораторії отримано: 0,865; 0,870; 0,866; 0,871; 0,870; 0,868; 0,871; 0,870; 0,869; 0,874.

Перевірити гіпотезу однорідності цих вибірок, використовуючи критерій Смирнова—Колмогорова при =0,01.

17.8. Двовимірна випадкова величина (, ) може набувати 4 значення: (0;0), (0;1), (1;0), (1;1). 180 незалежних спостережень дали такі результати: значення (0;0) спостерігалося 39 разів; (0;1) — 50, (1;0) — 53; (1;1) — 38. Чи можна вважати, що  і  — незалежні випадкові величини? (  = 0,1 ).

17.9. Проведено 200 спостережень одночасно над випадковими величинами  і , які набувають значення 1, 2 та 1, 2, 3 відповідно. Результати спостережень наведено в таблиці:

	1	2	3
1	25	50	25	100
2	52	41	7	100
	77	91	32	200

Перевірити за допомогою критерію чи є незалежними випадкові величини  та  при =0,05.

17.10. Серед 300 чоловік, які вступали до університету 97 мали оцінку “5” у школі, 48 отримали “5” на вступних іспитах із того ж предмета, причому лише 18 чоловік мали “5” і в школі, і на вступних іспитах. З рівнем значущості =0,1 перевірити гіпотезу незалежності оцінок “5” у школі й на вступних іспитах.

17.11. За допомогою критерію перевірити гіпотезу про однорідність двох вибірок, наведених у таблиці (=0,05).

	1	2	3	4
	40	20	20	20
	30	20	30	20

17.12. Зроблено 4000 підкидань монети. Решка випала 2040 разів, а

герб — 1960. За допомогою критерію перевірити гіпотезу про те, що монета була “правильною”, тобто ймовірність випадання герба p = 1/2 ,  = 0,1.