Розділ 1. Елементи комбінаторики

Основний принцип комбінаторики (правило множення). Нехай треба поcлідовно виконати k дій. Якщо першу можна виконати n₁ способами, після чого другу — n₂ способами, третю — n₃ способами і т. д., то всі k дій може бути виконано способами.

Комбінації (сполуки) з n елементів по k. Нехай A — множина з n елементів. Довільна k-елементна підмножина множин з n елементів називається комбінацією з n елементів по k. Порядок елементів у підмножинах неістотний. Число k-елементних підмножин множини з n елементів позначають . Воно дорівнює:

де

Домовимось, що 0!=1, тоді

Справедливі властивості:

Перестановки. Множина з n елементів називається впорядкованою, якщо кожному елементу цієї множини поставлено у відповідність певне число (номер елемента) від 1 до n так, що різним елементам відповідають різні числа. Упорядковані множини вважаються різними, якщо вони відрізняються або своїми елементами, або порядком їх.

Різні впорядковані множини, які відрізняються тільки порядком елементів (тобто можуть бути утворені з тієї самої множини), називаються перестановками цієї множини. Число перестановок множини з n елементів дорівнює :

Розміщення з n елементів по k. Упорядковані k-елементні підмножини мно­жини, що містить n елементів, називаються розміщенням з n елементів по k. Число розміщень з n елементів по k дорівнює:

Біном Ньютона. де — натуральне число. Якщо то

Величина

є (k+1)-й член в розкладенні бінома,

Число способів розбиття множини з n елементів на m груп. Нехай k₁, k₂, …, k_m — цілі невід'ємні числа, причому k₁ + k₂ + …+ k_m = n. Число способів, якими можна подати множину A з n еле­ментів у вигляді суми n множин, що містять відповідно k₁, k₂, …, k_m елементів, дорівнює:

Перестановки з повтореннями. Число різних перестановок, які можна утворити з n елементів, серед яких є k₁ елементів першого типу, k₂ елементів другого типу, ...,k_m елементів m-го типу, дорівнює:

Приклади розв’язання задач

Задача 1. У камері схову встановлено кодовий замок з чотирьох цифр. Скільки різних комбінацій можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо:

а) цифри в коді можуть повторюватися?

б) цифри в коді не повторюються?

в) код починається з цифри “3”?

г) код є парним числом?

д) код — парне число, цифри якого не повторюються?

Розв’язок

а) Якщо цифри у коді можуть повторюватися, то на кожній позиції у коді може стояти будь-яка з 5 цифр, тобто загальна кількість варіантів 5555=625.

б) На першому місці може стояти будь-яка з 5 цифр, на другому — 4 (оскільки одна вже стоїть на першому місці), на третьому — 3, на четвертому — 2 цифри. Загальна кількість варіантів підраховується за основним правилом комбінаторики: 5432=120.

в) На першому місці стоїть цифра “3”, на інших місцях можуть стояти будь-які з 5 цифр. Загальна кількість варіантів 555=125.

г) Код є парним числом, якщо на останньому місці стоїть парна цифра, тобто або 2, або 4. На інших місцях можуть стояти будь-які цифри: 5552=250.

д) Якщо цифри не можуть повторюватися, то на останньому місці стоїть парна цифра, тоді на передостанньому місці може стояти лише чотири цифри, на другому — 3, на першому — 2 цифри. Загальна кількість варіантів 2342=48.

Задача 2. Скільки можна зробити перестановок з n елементів, у яких дані 2 елементи не стоять поруч?

Розв’язок. Визначимо число перестановок, у яких 2 елементи стоять поруч (a зліва, b — праворуч, і навпаки). Будемо вважати, що ab (чи ba) один елемент. Тоді число перестановок, якщо a та b стоять поруч, дорівнює 2[(n–1)!]. Тому шукане число перестановок дорівнює n!– 2[(n–1)!]=(n–1)!(n–2)=(n–2)!

Задачі

1. З Києва до Одеси можна вибрати один із 4 залізничних або один із 3 автобусних рейсів. Скільки є варіантів здійснити подорожі: а) Київ–Одеса; б) Київ–Одеса–Київ; в) Київ–Одеса–Київ, якщо зворотній шлях провести у поїзді?

2. На вершину гори веде 7 доріг. Скількома способа­ми турист може піднятись на гору і спуститися з неї? Дати відповідь на те ж запитання, якщо підйом та спуск здійснювати різними шляхами.

3. У розіграші чемпіонату країни з футболу беруть участь 17 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золота, срібна і бронзова медалі?

4. Скільки тризначних чисел можна записати циф­рами 0, 1, 2, 3, 4?

5. Скільки тризначних чисел можна записати циф­рами 0, 1, 2, 3, 4, якщо кожну з цих цифр використову­вати не більше одного разу?

6. Скількома способами 7 осіб можуть стати в чер­гу до каси?

7. На першому курсі вивчають 10 предметів. У понеділок 4 пари, причому всі пари різні. Скількома способами мож­на скласти розклад на понеділок?

8. Скільки є п'ятизначних чисел, які діляться на 5?

9. На одній із бічних сторін трикутника взято n то­чок, на другій — m точок. Кожну вершину при основі трикутника сполучено прямими з точками, взятими на протилежній бічній стороні. На скільки частин поділиться трикутник проведеними прямими?

10. Скільки партій буде зіграно в шаховому турнірі, якщо кожні два з n учасників зустрінуться лише один раз?

11. Скільки діагоналей має опуклий n-кутник?

12. Скількома способами можна розставити на ша­ховій дошці розмірами дві різнокольорові тури так, щоб вони не били одна одну?

13. Автомобільний номер складається з двох букв і чотирьох цифр. Знайти кількість усіх можливих номерів, які можна скласти з цифр від 0 до 9 та 30 букв українського алфавіту?

14. Комісія складається з голови, двох його заступників і ще 4 осіб. Скількома способами члени комісії можуть розподілити між собою обов’язки?

15. Скільки є способів розподілити 15 різних предметів між трьома особами так, щоб кожна особа отримала 5 предметів?

16. На книжковій полиці розміщено 10 томів. Скількома способами можна розставити їх так, щоб при цьому 1-й та 2-й томи не стояли поруч?

17. З 12 чоловік кожен день протягом 6 днів вибирають 2 чергових. Визначити кількість різних списків чергових, якщо кожна особа чергує лише один раз.

18. Скільки різних слів можна утворити перестановкою букв у слові: а) “математика”? б) “комбінаторика”?

19. Скільки тризначних чисел, які діляться на 3, можна записати цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожне число не повинно мати однакових цифр?

20. Якщо повернути аркуш паперу на 180°, то цифри 0, 1, 8 не змінюються, 6 і 9 переходять одна в одну, а інші цифри втрачають смисл. Скільки існує семицифрових чисел, величина яких не змінюється при повороті аркуша паперу на 180°?

21. З урни, що містить 10 чорних та 6 білих куль, вибирають 2 чорні та 3 білі кулі. Скількома способами це можна зробити?

22. Скількома способами можна розмістити на полиці 4 різних книги (позначимо їх )?

23. Скількома способами можна впорядкувати мно­жину {1, 2, …, 2n} так, щоб кожне парне число мало парний номер?

24. Скількома способами можна розсадити 4 учнів на 25 місцях?

25. Студентові треба за 8 днів скласти 4 іспити. Скількома способами це можна зробити?

26. Скількома способами можна впорядкувати мно­жину {1, 2, ..., n} так, щоб числа 1, 2, 3 стояли поруч і в порядку зростання?

27. Скільки існує перестановок з n елементів, серед яких між двома даними елементами стоїть r елементів?

28. На зборах має виступити 4 особи: . Скількома способами їх можна записати в список орато­рів, якщо не може виступити раніше, ніж A?

29. Скількома способами можна розмістити n гостей за круглим столом?

30. Шість ящиків різних матеріалів доставляють на вісім поверхів будівництва. Скількома способами можна розподілити матеріали по поверхах? У скількох із них на восьмий поверх буде доставлено не менше двох матеріалів?

31. Ліфт, у якому перебуває 9 пасажирів, зупиняється на десяти поверхах. Пасажири виходять групами по два, три, чотири чоловіки. Скількома способами це можна зробити?