Приклади розв’язання задач

Задача 1. Знайти оцінку параметрів нормального розподілу.

Розв’язок. Нехай =(₁, ₂, …, _n) — вибірка з генеральної сукупності з нормальним розподілом Розглянемо два випадки.

1) a — невідомий параметр, а дисперсія відома. Тоді

Тобто

Підрахуємо тепер

Отже, і Таким чином, оцінка параметра a ефективна. Крім того, вона сильно спроможна і асимптотично нормальна.

2) a — відомий параметр, а дисперсія невідома. Аналогічно,

.

Оцінка є незміщеною, сильно спроможною і асимптотично нормальною оцінкою дисперсії

Отже, і — ефективна оцінка параметра Її дисперсія

Задача 2. Знайти оцінку параметра показникового розподілу.

Розв’язок. Нехай ₁, ₂, …, _n — незалежні однаково розподілені випадкові величини з Нехай Випадкова величина має розподіл Ерланга, щільність якого Тоді

— гамма-функція,

Отже, — зміщена оцінка параметра Підрахуємо

Далі підраховуємо

Далі

для

Отже, оцінка не є ефективною оцінкою параметра

Задача 3. Знайти достатню статистику для нормального розподілу

Розв’язок.

Згідно з критерієм факторизації Якщо дисперсія відома, то достатньою статистикою для параметра буде Якщо ж, навпаки, a — відомий параметр, то достатньою статистикою для буде

Задача 4. Знайти достатню статистику для параметра розподілу Коші.

Розв’язок. Нехай

Для параметра існує лише тривіальна достатня статистика .

Задача 5. Знайти достатню статистику для параметра рівномірного розподілу на відрізку .

Розв’язок.

де

Легко бачити, що функцію правдоподібності можна зобразити у вигляді Тоді достатньою статистикою для параметра буде вектор де

Задачі

14.1. Нехай =(₁,₂,…,_n) — вибірка з генеральної сукупності з пуассонівським розподілом Показати, що статистика є незміщеною та ефективною оцінкою параметра .

14.2. Нехай =(₁,₂,…,_n) — вибірка з генеральної сукупності з розподілом Паскаля Показати, що статистика є незміщеною та ефективною оцінкою параметра .

14.3. Одновимірний вектор  набуває скінченного числа значень 0, 1, …, n з імовірністю Довести, що статистика є незміщеною та ефективною оцінкою параметра  (біноміальний розподіл).

14.4. Випадкові величини ₁,₂,…,_n — незалежні й однаково рівномірно розподілені на відрізку Показати, що — достатня статистика для параметра

14.5. Нехай ₁, ₂, …, _n — вибірка з генеральної сукупності з щільністю Показати, що — достатня статистика для параметра

14.6. Випадкові величини ₁,₂,…,_n — незалежні й однаково розподілені з щільністю Знайти достатню статистику і записати щільність її розподілу.

14.7. Випадкові величини ₁,₂,…,_n — незалежні й однаково розподілені з щільністю Знайти константу та достатню статистику для параметра .

14.8. Знайти достатню статистику для параметра пуассонівського розподілу Який розподіл має достатня статистика?

14.9. Випадкова величина  має логарифмічний нормальний розподіл з параметрами , якщо має нормальний розподіл . Знайти щільність розподілу , Знайти достатню статистику для векторного параметра