Приклад розв’язання задачі

Задача 1. Обчислити вибіркове середнє, дисперсію, моду, медіану для вибірки:

Інтервал	[–2; 0)	[0; 4)	[4; 6)	[6; 10]
	5	10	20	15

Розв’язок. Вибіркове середнє для інтервального статистичного ряду

Задачі

13.1. Обчислити незміщені оцінки математичного сподівання та дисперсії, вибіркову медіану та моду для вибірки:

	12	14	16	18	20	22
	5	15	50	16	10	4

13.2. Обчислити вибіркове середнє і дисперсію, моду, медіану для вибірки:

Інтервал	[2, 4)	[4, 6)	[6, 10)	[10, 16)	[16, 20)
	2	8	35	40	15

13.3. Побудувати емпіричну функцію розподілу, полігон частот. Знайти моду, медіану, вибіркове середнє та дисперсію для вибірки:

	0	1	3	5	6
	5	2	4	4	5

13.4. Нехай ₁,₂,…,_n — вибірка з генеральної сукупності з нормальним розподілом Довести, що статистика є незміщеною оцінкою параметра  (a — відомий параметр).

13.5. Нехай ₁ та ₂ — два спостереження випадкової величини  з нормальним розподілом

N(0, ²). Показати, що статистика — незміщена оцінка , =(₁, ₂).

13.6. Нехай ₁ та ₂ — два спостереження випадкової величини  з нормальним розподілом Показати, що статистика — незміщена оцінка , =(₁, ₂).

13.7. Нехай =(_…_n) — вибірка з генеральної сукупності з рівномірним на відрізку розподілом. Побудувати незміщені оцінки параметрів a, b, а також незміщені та спроможні оцінки параметрів

13.8. Нехай =(₁, ₂, …, _n) — вибірка з генеральної сукупності з рівномірним розподілом на відрізку [0; 2]. На який коефіцієнт треба домножити статистику , щоб отримати незміщену оцінку параметра ?

13.9. Нехай =(₁, ₂, …, _n) — вибірка з генеральної сукупності з рівномірним розподілом на відрізку [; +1]. Побудувати незміщену оцінку параметра .

13.10. Нехай =(₁, ₂, …, _n) — вибірка з генеральної сукупності з щільністю Довести, що оцінка є незміщеною оцінкою параметра .

Розділ 14. Ефективні оцінки. Достатні статистики

Нехай L(X, ) — щільність розподілу вибіркового вектора =(₁, ₂, …, _n), (або ймовірність у дискретному випадку). Якщо  вибірка з генеральної сукупності з розподілом то де — щільність випадкової величини (або ймовірність у дискретному випадку). Функція L(X, ) називається функцією правдоподібності.

Функцію називають кількістю інформації за Фішером. У разі, якщо ₁, ₂, …, _n — незалежні однаково розподілені випадкові величини з щільністю ,

Нехай для деякої функції існує незміщена оцінка .

Теорема (нерівність Крамера-Рао). Нехай функція L(X,) двічі диференційована за  і

функція диференційована і

тоді

Нерівність перетворюється в рівність тоді і тільки тоді, коли

з імовірністю одиниця, де

Якщо то

Нехай тепер зміщена оцінка  і Тоді

Якщо нижня межа нерівності двох останніх нерівностей для незміщеної чи зміщеної оцінки відповідно досягається, то така оцінка називається ефективною.

Статистика T(називається достатньою для невідомого параметра , якщо умовна щільність (або ймовірність у дискретному випадку) випадкового вектора при умові T()=t не залежить від .

Це означає, що статистика T містить усю інформацію про параметр , що є у вибірці. Достатня статистика задає оптимальний спосіб зображення статистичних даних, що особливо важливо при обробці великих масивів статистичної інформації. Потрібно знайти достатню статистику мінімальної вимірності, що подає дані в найбільш стиснутому вигляді. При цьому йдеться про мінімальну достатню статистику. Очевидно вибірка  є достатньою статистикою, але ця статистика тривіальна, оскільки не скорочує даних.

Теорема (критерій факторизації). Для того, щоб статистика T() була достатньою, необхідно і достатньо, щоб функція правдоподібності мала вигляд:

де функції не залежать від .