Розділ 11. Закон великих чисел. Центральна гранична теорема

Нехай {_n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин із скінченними математичними сподіваннями Вважається, що для цієї послідовності виконується закон великих чисел (ЗВЧ), якщо

за ймовірністю, тобто для будь-якого >0

Надалі, за ймовірністю, якщо для будь-якого (збіжність за ймовірністю).

Теорема Хінчина. Якщо {_n, n1} — послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин із скінченним математичним сподіванням, то для неї виконується закон великих чисел.

Теорема Чебишева. Якщо {_n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин з то для неї виконується закон великих чисел.

Теорема Маркова. Якщо {_n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин з то для неї виконується закон великих чисел.

Наслідок теореми Маркова. Якщо {_n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин з , та то для неї виконується закон великих чисел.

Нехай {_n, n1} — послідовність таких незалежних випадкових величин, що Вважається, що для послідовності {_n, n1} виконується:

а) умова Ліндберга, якщо для будь-якого >0

б) умова Ляпунова, якщо для деякого >0

Центральна гранична теорема. Нехай {_n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин із скінченними математичними сподіваннями та дисперсіями. Якщо для цієї послідовності виконується умова Ліндберга, то

Якщо послідовність {_n, n1} задовольняє умову рівномірної малості, тобто для довільного >0 і виконується центральна гранична теорема, то виконується умова Ліндберга.

Наслідок 1. Для послідовності незалежних однаково розподілених випадкових величин із скінченними другими моментами виконується центральна гранична теорема.

Наслідок 2. Якщо для послідовності {n, n1} виконується умова Ляпунова, то справджується і центральна гранична теорема. Приклад розв’язання задач

Задача 1. Нехай {_n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин, причому _n набуває значення 2ⁿ та –2ⁿ з імовірністю ½. Чи виконується для цієї послідовності закон великих чисел?

Розв’язок. Обчислимо математичне сподівання та дисперсію випадкової величини _n. Маємо Теореми Чебишева та Маркова до цієї послідовності випадкових величин застосовувати неможливо. Оцінимо ймовірність

Таким чином, закон великих чисел не виконується для даної послідовності.

Задача 2. Нехай {_n, n1} — послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин із нульовим математичним сподіванням і скінченною дисперсією: Знайти якщо

Розв’язок. Для даної послідовності випадкових величин справджується центральна гранична теорема, тобто Тоді За таблицею 2 додатку знаходимо, що при x=0,26. Таким чином, та

Задачі

11.1. Встановити, чи буде виконано умови застосування закону великих чисел для послідовності незалежних випадкових величин із розподілом:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

є)

11.2. При яких значеннях параметра  до послідовності незалежних випадкових величин ₁, ₂, … таких, де Р{_n=n^}=1/2, можна застосувати закон великих чисел?

11.3. Нехай {_n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин, що мають рівномірний на відрізку [0, 1]. Довести, що

за ймовірністю.

11.4. Нехай {_n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин, що мають показниковий розподіл з параметром 1. Довести, що випадкова величина збігається за ймовірністю, і знайти границю.

11.5. Для дійсної неперервної на [0,1] функції обчислити

11.6. Обчислити границю

11.7. Обчислити границю

11.8. Обчислити границю

11.9. Послідовність незалежних випадкових величин ₁, ₂, …, _n, … задана законом розподілу:

n	a	-a
P

Чи можна застосувати до цієї послідовності: а) закон великих чисел? б) центральну граничну теорему?

11.10. При яких  для послідовності незалежних випадкових величин із задачі 11.2 виконується центральна гранична теорема?

11.11. Нехай {_n, n1} — послідовність таких незалежних випадкових величин, що Чи виконується для цієї послідовності центральна гранична теорема?

11.12. Нехай {_n, n1} — послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, які мають пуассонівський розподіл з параметром . Знайти