Розділ 9. Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли

Біноміальний розподіл. Проводяться незалежні випробування; в кожному випробуванні може бути два результати: «успіх» — з ймовірністю p, або «невдача» — з ймовірністю q=1–p. Нехай проведено n випробувань. Позначимо через  число «успіхів», тоді

P_n(k) =P{=k}= (k =0, 1,...,n).

Розподіл випадкової величини  називається біноміальним розподілом Бернуллі, а описана вище схема носить назву схеми незалежних випробувань, або схеми Бернуллі.

Локальна теорема Муавра—Лапласа. Якщо n, p — константа, 0<p<1, то

Інтегральна теорема Муавра—Лапласа. Якщо n, p — константа, 0<p<1, то

рівномірно по x₁, x₂ (–x₁x₂).

Теорема Пуассона. Якщо p=p_n  0 та np_n   при n (0<<), то

Праві частини формул у теоремах Муавра—Лапласа дають добрі наближення, якщо n достатньо велике, а p та q не дуже близькі до 0. Часто нормальним наближенням користуються при npq>20. Теорема Пуассона дає добре наближення, коли n велике, а p мале. Зазвичай p<0,1, npq<9. Таблиці функції Лапласа інтегральної функції Лапласа та функції наведено у додатку (табл. 1, табл. 2, табл. 3).

Геометричний розподіл. Випадкова величина , яка набуває значень 0, 1, ..., k... має геометричний розподіл з параметром p, якщо

P(=k)=(1–p)^kp.

Величину  можна інтерпретувати як число випробувань до першого успіху в схемі незалежних випробувань з імовірністю успіху p.

Розподіл Пуассона. Випадкова величина , яка набуває значень 0, 1,..., k, ... має розподіл Пуассона з параметром >0, якщо

P(=k) =

Приклад розв’язання задачі

Задача 1. Яка ймовірність того, що при 5 підкиданнях монети від 2 до 4 разів випаде герб?

Розв’язок. Якщо P₅(k) – ймовірність того, що випало рівно k гербів, то відповідна ймовірність дорівнює:

P₅ (2)+ P₅ (3)+ P₅ (4)=

Задача 2. Ймовірність випуску бракованого виробу дорівнює 0,02. Чому дорівнює ймовірність того, що у партії зі 100 виробів бракованих буде не більше 3?

Розв’язок. Скористаємось теоремою Пуассона. У даному випадку n=100, p=0,02, =np=1000,02=2. Тоді

Задача 3. Монету підкидають 100 разів. Яка ймовірність того, що загальне число випадань герба буде у межах від 45 до 55?

Розв’язок. За умовою задачі n=100, p=q=0,5, npq=25, np=50. Скористаємось локальною теоремою Муавра—Лапласа. Тоді

Задачі

1. Імовірність влучення під час одного пострілу дорівнює 0,4. Скільки треба зробити пострілів, щоб iмовірність принаймні одного влучення була не меншою 0,9?

2. У підручнику допущено 50 помилок на 500 сторінках. Яка ймовірність того, що у розділі з 30 сторінок допущено: а) 2? б) менше 2? в) 2 або більше помилок? г) 0 помилок?

3. У середньому з 200 ламп за місяць виходить з ладу 1 лампочка. Всього встановили 400 ламп. Яка ймовірність того, що за місяць вийде з ладу: а) 3 лампочки? б) не менше 3 лампочок? в) 0 лампочок?

4. Яка ймовірність того, що при 10 підкиданнях монети випаде герб: а) від 4 до 6 разів? б) від 3 до 5 разів? в) 0 разів? г) не менше 4 разів?

5. На фірмі немає в середньому 5% деталей, що поданих у каталозі. Надійшло замовлення на 8 деталей. Яка ймовірність того, що всі вони є на фірмі?

6. Нехай k₀ — найбільш імовірне число успіхів у схемі Бернуллі з імовірністю успіху p при n випробуваннях, тобто таке значення k, при якому ймовірність P_n(k) = максимальна. Довести, що np–qk₀np+p.

7. Гральний кубик кидають 6 разів. Знайти ймовірність того, що двічі випаде число очок кратне 3.

8. Батарея зробила 14 пострілів по об’єкту, ймовірність влучення в який 0,2. Обчислити: а) найбільш імовірне число влучень і його ймовірність; б) ймовірність того, що було не менше 4 влучень.

9. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,8. Скільки треба зробити пострілів, щоб найімовірніше число влучень було 20?

10. Двоє кидають монету по n разів. Знайти ймовірність того, що в них однакову кількість разів випаде герб.

11. Середній брак при виробництві продукції на підприємстві становить 0,1%. Перевіряється партія з 1000 деталей. Яка ймовірність того, що бракованими буде: а) від 2 до 4 деталей? б) 1 деталь? в) не більше 3 деталей?

12. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,001. Знайти імовірність двох і більше влучень, якщо було зроблено 5000 пострілів.

13. По каналу зв’язку передається 1000 знаків. Кожен знак може бути викривлений з імовірністю 0,004. Знайти ймовірність того, що буде викривлено не більше 3 знаків.

14. Імовірність успіху в кожному випробуванні дорівнює 0,25. Яка ймовірність того, що при 300 випробуваннях успішними будуть: а) рівно 75 випробувань? б) рівно 85 випробувань?

15. Імовірність виробництва бракованого виробу дорівнює 0,005. Чому дорівнює ймовірність того, що з 10000 вибраних навмання виробів бракованих буде не більше 60?

16. Імовірність виходу з ладу за час  одного приладу дорівнює 0,1. Визначити ймовірність того, що за час  зі 100 приладів вийдуть з ладу: а) не менше 20; б) менше 15; в) від 6 до 18 приладів.

17. Нехай  — випадкова величина, яка має біноміальний розподіл з параметрами n та p. Довести, що

18. Що більш імовірно: виграти у гравця (рівного собі за силою гри) 4 партії з 8 чи 3 партії з 5?

19. Нехай — випадкова величина, яка має біноміальний розподіл з параметрами n і p. Відомо, що M=12, D=4. Знайти n і p.

20. Нехай — випадкова величина, яка має геометрич­ний розподіл з параметром p. Довести, що

21. Довести, що випадкова величина  яка набуває значень 0, 1, 2,..., має геометричний розподіл тоді і тільки тоді, коли виконується рівність: (характеристична властивість геометричного розподілу).

22. Тривалість міжміської телефонної розмови вимірюєть­ся хвилинами і є випадковою величиною з геометричним розподілом. Яка ймовірність того, що розмова триватиме ще 3 хвилини, якщо до цього вона тривала 10 хвилин. (Параметр геометричного розподілу дорівнює p).

23. Випадкові величини ₁ і ₂ — незалежні і мають однаковий геометричний розподіл. Довести, що

24. Випадкові величини ₁ і ₂ — незалежні і мають однаковий геометричний розподіл. Нехай Знайти розподіл величини  і сумісний розподіл величин _ та .

25. Нехай  — випадкова величина, яка має розподіл Пуассона з параметром . Довести, що M, = , D = .

26. Нехай ₁ і ₂ — незалежні випадкові величини, які мають розподіл Пуассона з параметрами _та ₂ відповідно.

а) Довести, що випадкова величина  = ₁+₂ має розподіл Пуассона з параметром _₂.

б) Довести, що умовний розподіл величини ₁ при умові, що ₁+₂ = n, є біноміальним розподілом з параметрами n і тобто

27. Випадкова величина  має розподіл Пуассона з параметром . Обчислити

28. Випадкова величина  набуває цілих невід'ємних значень з імовірностями де a > 0 (розподіл Паскаля). Обчислити математичне сподівання і дисперсію .

9.29. Урна містить N куль, позначених номерами від 1 до N. Послідовно виймають n куль, повертаючи кожного разу взяту кулю назад. Нехай  — найбільший номер, який було одержано при цьому. Знайти розподіл  і математичне сподівання .