Дисперсія d

Задача 2. Нехай  набуває значення 1, 2, кожне з імовірністю ¼, а =². Знайти: а) сумісний розподіл та ; б) Чи будуть  та  незалежними?

Розв’язок. Випадкова величина  буде набувати два значення 1 та 4 з рівними ймовірностями ½. Знайдемо сумісний розподіл  та :

Випадкові величини  та  будуть залежними, оскільки, наприклад,

Таким чином,

Задачі

1. Двічі кидають монету. Описати простір елементарних подій . Нехай (w) — число випадань герба. Знайти розподіл випадкової величини , математичне сподівання M та дисперсію D.

2. Двічі підкидають гральний кубик. Описати простір елементарних подій . Нехай (w) — сума очок, які випали. Знайти розподіл випадкової величини , M.

3. Монету підкидають, доки випаде герб. Описати простір елементарних подій . Нехай (w) — чис­ло зроблених підкидань. Обчислити: а) розподіл випадкової величини ; б) P{>1}, P{n}.

4. Стріляють у ціль до першого влучення. Влучення при різних пострілах — незалежні події, ймовірність влучен­ня при кожному пострілі — p. Описати простір елементар­них подій . Нехай (w) — число зроблених пострілів. Об­числити розподіл випадкової величини (w).

5. Які з поданих нижче послідовностей є розподілами деякої дискретної випадкової величини:

а) p^kq², q = 1–p, 0 < p  1, k = 1, 2,...?

6) p^k-nq, q = 1–p, 0 p 1, n>0, k = n, n+1,...?

в) ?

6. Нехай  — випадкова величина, яка набуває значень 0, ±1, … , ±n з імовірностями Обчислити M,, D..

7. Випадкова величина  має розподіл:

	-1	0	1
Pi

Знайти: а) розподіл випадкової величини  = ||; б) M, D.

8. Дискретна випадкова величина  має ряд розподілу:

	1	3	5
P	0,4	0,1	0,5

Знайти розподіл випадкової величини =3, M.

9. Дискретна випадкова величина  має ряд розподілу:

	/4	/2	3/4
P	0,2	0,7	0,1

Знайти розподіл випадкової величини =sin, M, D.

10. Дискретна випадкова величина  має ряд розподілу:

	–2	–1	0	1	2
P	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Знайти розподіл випадкових величин =^та =||.

11. Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини  дорівнюють відповідно 2 та 10. Знайти математичне сподівання та дисперсію величини 2+5.

12. Знайти середнє квадратичне відхилення випадкової величини, поданої розподілом:

    	3	5	7	9
    P	0,4	0,3	0,2	0,1

13. Нехай випадкова величина  набуває скінченне число невід’ємних значень x₁, x₂, …, x_r. Довести, що

14. Два банки (A та В) мають такі прогнози щодо прибутку на наступний рік.

A		В
Прибуток	Ймовірність	Прибуток	Ймовірність
0	0,1	100$	0,2
200$	0,1	500$	0,2
1000$	0,2	2000$	0,25
2000$	0,5	4000$	0,3
10000$	0,1	8000$	0,05

Підрахувати економічний ризик (стандартну похибку) для вкладників у банки A та В.

15. Нехай випадкова величина  набуває цілих невід’ємних значень, причому Довести, що

16. Кидають два гральних кубики. Нехай  — кількість очок на першому кубику, а  — число очок на другому кубику. Довести, що  та  — незалежні.

17. Кидають два гральних кубики. Нехай  — кількість очок на першому кубику, а  — максимальне з двох очок. Знайти: а) сумісний розподіл  та ; б)

18. Випадкові величини  та  незалежні та

Чи будуть випадкові величини  та  незалежними? Знайти

19. Нехай ₁ та ₂ — незалежні однаково розподілені випадкові величини та =₁+₂, =₁–₂. Довести, що

20. Нехай  та  — відповідно сума та різниця очок, які випали при киданні двох гральних кубиків. Довести, що Чи будуть  та  незалежними?

21. Нехай ₁ та ₂ — незалежні випадкові величини, які мають цілі значення. Довести, що

22. Нехай ₁ та ₂ — незалежні випадкові величини, які набувають значення 0, 1, …, n, причому Знайти розподіл випадкової величини