- •Збірник задач
- •З теорії ймовірностей та математичної статистики
- •Навчальний посібник
- •Рекомендовано
- •Міністерством освіти України
- •Рецензенти: член-кореспондент нан України, доктор фізико-математичних наук
- •Передмова
- •Розділ 1. Елементи комбінаторики
- •Приклади розв’язання задач
- •Розділ 2. Простір елементарних подій, випадкові події та операції над ними
- •Правило де Моргана: Приклад розв’язання задачі
- •Розділ 3. Ймовірності у дискретних просторах елементарних подій. Класичне означення ймовірності
- •Приклад розв’язання задачі
- •Розділ 4. Геометричні ймовірності.
- •Приклад розв’язання задачі
- •Розділ 5. Аксіоми теорії ймовірностей
- •Приклад розв’язання задачі
- •Розділ 6. Умовні ймовірності.
- •Приклад розв’язання задачі
- •Розділ 7. Формула повної ймовірності. Формула Байєса
- •Приклад розв’язання задачі
- •Розділ 8. Дискретні випадкові величини. Числові характеристики дискретних випадкових величин
- •Приклад розв’язання задачі
- •Дисперсія d
- •Розділ 9. Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли
- •Приклад розв’язання задачі
- •Розділ 10. Неперервні випадкові величини
- •Приклад розв’язання задач
- •Розділ 11. Закон великих чисел. Центральна гранична теорема
- •Наслідок 2. Якщо для послідовності {n, n1} виконується умова Ляпунова, то справджується і центральна гранична теорема. Приклад розв’язання задач
- •Розділ 12. Вибірка та її основні характеристики. Емпірична функція розподілу, гістограма
- •Приклад розв’язання задачі
- •Розділ 13. Оцінювання невідомих параметрів розподілів. Класифікація оцінок. Вибіркове середнє та дисперсія, мода, медіана
- •Приклад розв’язання задачі
- •Розділ 14. Ефективні оцінки. Достатні статистики
- •Приклади розв’язання задач
- •Розділ 15. Метод моментів та метод максимальної правдоподібності
- •Приклади розв’язання задач
- •Розділ 16. Надійні інтервали
- •Приклад розв'язання задачі
- •Розділ 17. Перевірка статистичних гіпотез. Критерії згоди
- •Приклади розв’язання задач
- •Розділ 18. Перевірка гіпотез про рівність математичних сподівань та дисперсій для нормальних сукупностей
- •Приклади розв’язання задач
- •Розділ 19. Лінійна регресія
- •Приклади розв’язання задач
- •Розділ 20. Елементи дисперсійного аналізу
- •Приклад розв’язання задачі
- •Розділ 21. Елементи аналізу часових рядів. Виділення тренду, згладжування, прогноз
- •Приклад розв’язання задачі
- •Розділ 22. Задачі для контрольних робіт Контрольна робота №1 “Теорія ймовірностей”
- •Контрольна робота №2 “Теорія ймовірностей”
- •Контрольна робота №3 “Математична статистика”
- •Розділ 4
- •Розділ 5
- •Розділ 6
- •Розділ 7
- •Розділ 8
- •Розділ 9
- •Розділ 10
- •Розділ 11
- •Розділ 18
- •Розділ 19
- •Розділ 20
- •Розділ 21
- •Додатки
- •Література Підручники, навчальні посібники та монографії
- •Збірники задач
- •Для нотаток:
ЧЕРНЯК О.І., ОБУШНА О.М., СТАВИЦЬКИЙ A.В.
Збірник задач
З теорії ймовірностей та математичної статистики
Навчальний посібник
Рекомендовано
Міністерством освіти України
як навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей вищих закладів освіти
Київ - 2000
ББК
УДК 519.2 (075.8)
Черняк О.І., Обушна О.М., Ставицький A.В.
Збірник задач з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навчальний посібник.— К.: «Знання», КОО, 2000.—119 с.
Збірник містить задачі з основних розділів теорії ймовірностей та математичної статистики відповідно до програми цього курсу для економічних спеціальностей вищих навчальних закладів. Подано багато розібраних прикладів і задач, а також відомості з курсу теорії ймовірностей та математичної статистики, які широко використовуються в сучасних економічних дослідженнях. До задач дано відповіді, до більш складних задач — вказівки та розв’язки.
Рецензенти: член-кореспондент нан України, доктор фізико-математичних наук
професор М.Й. Ядренко,
доктор фізико-математичних наук, професор М.П. Моклячук
Рекомендовано Міністерством освіти України для студентів економічних спеціальностей вищих закладів освіти (лист Міністерства освіти України №2/418 від 28 грудня 1999 р.)
Зміст
Передмова 5
Розділ 1. Елементи комбінаторики 6
Розділ 2. Простір елементарних подій, випадкові події та операції над ними 9
Розділ 3. Ймовірності у дискретних просторах елементарних подій. Класичне означення ймовірності 10
Розділ 4. Геометричні ймовірності. 13
Розділ 5. Аксіоми теорії ймовірностей 15
Розділ 6. Умовні ймовірності. 16
Розділ 7. Формула повної ймовірності. Формула Байєса 18
Розділ 8. Дискретні випадкові величини. Числові характеристики дискретних випадкових величин 20
Розділ 9. Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли 24
Розділ 10. Неперервні випадкові величини 27
Розділ 11. Закон великих чисел. Центральна гранична теорема 32
34
Розділ 12. Вибірка та її основні характеристики. Емпірична функція розподілу, гістограма 35
Розділ 13. Оцінювання невідомих параметрів розподілів. Класифікація оцінок. Вибіркове середнє та дисперсія, мода, медіана 38
Розділ 14. Ефективні оцінки. Достатні статистики 41
Розділ 15. Метод моментів та метод максимальної правдоподібності 46
Розділ 16. Надійні інтервали 50
Розділ 17. Перевірка статистичних гіпотез. Критерії згоди 52
Розділ 18. Перевірка гіпотез про рівність математичних сподівань та дисперсій для нормальних сукупностей 59
Розділ 19. Лінійна регресія 61
Розділ 20. Елементи дисперсійного аналізу 66
Розділ 21. Елементи аналізу часових рядів. Виділення тренду, згладжування, прогноз 70
Розділ 22. Задачі для контрольних робіт 76
Відповіді та вказівки 84
Додатки 109
Література 116
Передмова
В основу добору задач покладено багаторічний досвід викладання курсу теорії ймовірностей та математичної статистики на економічному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Посібник складається з двадцяти одного розділу. В ньому викладено теоретичні відомості та підібрано задачі з комбінаторики, основ теорії ймовірностей, теорії оцінювання невідомих параметрів, перевірки статистичних гіпотез, регресійного та дисперсійного аналізів, аналізу часових рядів. У кожному розділі наведено приклади розв’язання задач. В останньому розділі пропонуються задачі для контрольних робіт, які також можна використати при проведенні модульно-рейтингового оцінювання знань. У додатку вміщено основні статистичні таблиці, необхідні для розв’язання прикладів та задач.
Посібник може бути корисним для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів, аспірантів та науковців, які використовують у своїх дослідженнях ймовірнісно-статистичні методи.
Цю роботу було підтримано проектом Tempus-Tacis JEP-10353-97.