Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Численные методы / Курсовая работа по ЧМ вариант 39

.docx
Скачиваний:
13
Добавлен:
03.01.2020
Размер:
756.14 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Курсовая работа

по дисциплине «Численные методы»

Вариант № 39

Выполнил:

Студент Ермилин М.В.

Группа ФБИ-91

Факультет Бизнеса

Шифр 090309304

Преподаватель: Соболева О.Н.

Дата сдачи

Дата защиты

Новосибирск, 2012

Курсовое задание

Вариант 39

Задание 1. Запишите порядок выполняемых вами операций, оцените погрешности их результатов, вычислите и запишите искомое значение. Определите число верных знаков.

Задание 2. Выясните погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с m верными значащими цифрами

1.

a=0.2456±0.0005; b=0.00078±0.00003; c=0.008±0.004

2.m=4 a=0.2456; b=0.00078; c=0.008

Если трансцендентные функции (sin,ln и т.п.) вычисляются с помощью

библиотек компьютерных средств (Pascal, Delphi, MatLab и пр.) или

калькулятора, погрешность метода можно пренебречь (но не погрешностью

исходных данных или округления).

Задание 3

Исследование метода Холецкого для нахождения собственных значений для

произвольной самосопряженной матрицы.

Для вычислений подберите тесты с известными собственными значениями. Погрешность нужно оценивать по любой норме разности между точными и вычисленными значениями. Симметричные матрицы подбирать разного вида: хорошо и плохо обусловленные, разной размерности, плотные и разреженные.

Задание 1.

a=0.2456±0.0005; b=0.00078±0.00003; c=0.008±0.004

- точное значение

- приближенное значение

-абсолютная погрешность

- относительная погрешность

Операции

2*0.00203583=0.00407166

0.00407*0.2456^2=2.456*

0.04253

2.00115*

0.16667

0.03333

0.2092

4.92133*

3*

22.99766*

0.20923

4.92588*

7.99898*

0.49996

0.70919

2.6713*

Воспользуемся универсальными оценками:

Предельная абсолютная погрешность:

m - число верных знаков

n – старший разряд приближенного значения

Задание 2.

m=4 a=0.2456; b=0.00078; c=0.008

f(a,b,c)=

Пологаем верными 4 цифры, тогда

Относительная погрешность

Абсолютная погрешность **

Принцип равных вливаний

a*

b*

a* b*+

Допустимая погрешность данных

Задание 3

Исследование метода Холецкого для нахождения собственных значений для

произвольной самосопряженной матрицы.

Для вычислений подберите тесты с известными собственными значениями. Погрешность нужно оценивать по любой норме разности между точными и вычисленными значениями. Симметричные матрицы подбирать разного вида: хорошо и плохо обусловленные, разной размерности, плотные и разреженные.

Пусть А-симметричная, положительная матрица. Тогда она представима в видеA=L где:

,

Элементы матрицы L можно вычислить, начиная с верхнего левого угла по формулам:

Выражение под корнем всегда >0, если А-действительная положительная матрица.

Существует обобщение этого разложения на случай комплекснозначных матриц. Если А-положительно-определенная эрмитовая матрица, то существует разложение, где L-нижняя треугольная матрица с положительными действительными элементами на диагонали, а L*-эрмитово-сопряженная к ней матрица.

Для комплекснозначных эрмитовых матриц используются формулы:

Нахождение собственные значений в MATLAB

Функция holec реализует разложение Холецкого.

Пример:

Действительная матрица

Комплекснозначная матрица

Головная программа. Функция для нохождения собственных значений методом Холецкого.

Cond(A)-проверка кондиции А

Diag(B)-вывод диагонали матрицы В

Eig(A)-вывод реальных собственных значений А

Norm(eig(A)-diag(B))-вычисление разности собственных значений матрицы А, вычисленных с помощью стандартной функции eig и нашей программой

Пример:

По степени обусловленности

Число обусловленности 2-хорошо обусловленная матрица

Точность вычисления 8.2963*

Число обусловленности 11.53-плохо обусловленная матрица

Точность вычислений – 613.519

Вывод: Метод хорошо себя проявляет на хорошо обусловленных матрицах.

По размерности

Точность вычислений – 7.6533*

Вывод: С увеличением размерности, точность вычислений увеличивается.

Плотная матрица

Точность вычислений 178.6

Разреженая матрица

Точность вычислений – 16.55

Вывод: точность вычислений по методы Холечкого разреженых матриц выше, чем плотных.