Приложение 7 Метод путевых коэффициентов

Основные понятия. Концепция наследуемости базируется на корреляциях между родственниками. Впервые корреляции стали вычислять биометрики. Позже Фишер показал, что определенные корреляции следуют и из законов Менделя. Наличие корреляций можно трактовать по-разному. Если А и В коррелируют, то А может быть частичной причиной В, В может быть частичной причиной А или А или В могут выступать в качестве общей причины С. Однако в генетике последовательность событий часто однозначна: корреляция между родителем и ребенком обусловлена тем фактом, что ребенок наследует свои гены от родителей и живет в среде, созданной ими же. Райт [961] предложил статистический метод, учитывающий это последовательное отношение.

«Качественную интерпретацию системы переменных ... удобно представить диаграммой, на которой стрелки используются для указания переменных, трактуемых как функции других переменных... . Неанализируемые корреляции можно представить двунаправленными стрелками для указания связи через общие факторы (рис. П.7.1). Удобно измерять каждую переменную в терминах ее стандартного отклонения. Полагая

мы можем записать наилучшее линейное выражение для отклонений в терминах тех переменных, из которых стрелки выходят, и представить в виде

Коэффициенты р₀₂, р₀₃ и т. д. - абстрактные числа, которые я назвал путевыми коэффициентами, связаны с коэффициентами частной регрессии, точно так же, как коэффициент корреляции связан с общей регрессией. Они отличаются от коэффициентов корреляции, однако, тем, что имеют направление ... . Для любых двух переменных такой системы корреляция может быть представлена в виде суммы вкладов в одну из них. Пусть s обозначает факторы переменной х₀, a t- переменной x₁. Тогда

Дальнейший анализ компонентов корреляции приводит к легко запоминаемому принципу: любая корреляция может быть представлена в виде суммы вкладов всех путей на диаграмме (прямых или через общие факторы), которыми связаны две переменные, а каждый из этих вкладов представляет собой произведение коэффициентов, относящихся к элементарным путям. В каждом случае один из этих элементарных путей может быть неанализируемым двунаправленным путем, измеряемым коэффициентом корреляции».

Дальнейшее можно разъяснить на примере (рис. П.7.1). Справедливы следующие формулы (эти формулы получаются на основе теории частных корреляций и регрессий; элементарное объяснение см. в работе

Рис. П.7.1.

Здесь p_ij- путевой коэффициент от переменной V_j к переменной V_i, a r_ij — коэффициент корреляции между V_i и V_j (i,j = 0, 2, 3, 4, 6, 7).

Применение к данным по IQ человека. Чтобы объяснить суть подхода путевых коэффициентов, Райт использовал данные, собранные Бурксом (разд. 8.2.1.3), о корреляциях между родителями и приемными детьми, с одной стороны, и биологическими детьми - с другой. Две группы родителей были очень сходны. Помимо определения значений IQ для родителей и детей Бурке построил для каждой семьи «культуральный индекс», оценивающий, насколько благоприятна для развития интеллекта обстановка в семье. Затем для обеих групп родителей Бурке вычислил корреляции между IQ детей и культуральным индексом (r_CE) и между IQ детей и средних родителей (r_CP). Кроме того, была вычислена корреляция r_EР между IQ среднего родителя и средой. Теперь мы снова следуем анализу Райта, используя принцип путевых коэффициентов (рис. П.7.2).

Приемные дети (в этих формулах r всегда обозначает коэффициент корреляции, а p -путевой коэффициент. Индексы имеют следующий смысл: P - IQ среднего родителя, C - IQ ребенка, Е- культуральный индекс)

Это так называемая теорема полной причинной детерминации. Она следует из того факта, что корреляция переменной с самой собой равна 1.

Собственные дети

Рис. П.7.2.

«Если IQ воспитывающих родителей связан с IQ детей только через корреляцию с домашней средой, то корреляция родитель-ребенок должна быть произведением двух промежуточных коэффициентов. Соответствующий подсчет дает значение корреляции между средним родителем и средой ( + 0,79), очень близкое к наблюдаемому в контроле ( + 0,86). Это указывает на отсутствие иного влияния родителей, кроме как через общую среду, измеренную реально (в биологических семьях). Только 9% детерминации дисперсии обусловлены домашней средой ( = 0,29²), что дает в качестве остатка 91% детерминации и путевой коэффициент 0,96. В какой степени это относится лишь к наследственности, а в какой - к неизмеряемым средовым факторам, судить нельзя, но, поскольку домашняя среда, вероятно, наиболее важный средовый фактор ..., можно предположить, что остаточная часть высоко наследуема. В других группах ситуация сложнее. Мы можем сразу выписать три уравнения,