14. Многократные интегралы.

Многократные интегралы находятся применением оператора int нужное число раз. Интегрируемая функция определяется оператором присвоения, либо вписывается прямо в команду. Необходимо указать все аргументы, по которым интегрируем (параметр команды). Все выражения, явно не содержащие этих аргументов, считаются постоянными.

Можно использовать как последовательность отдельных команд (рекомендуется начинающему пользователю), так и одну составную команду с внутренними операторами (последний формат используйте, когда известно, что "внутренний" интеграл имеет определённое выражение или значение).

1. Неопределённый интеграл. Формат команд:

> int(x^n*exp(a*y), x); F:=int(%, y); F:=int(int(x^n*exp(a*y), y), x);

В интеграле составной командой изменён порядок интегрирования, результат - тот же. См. также п. 13. Дополнительное осложнение с применением составной команды может возникнуть, когда внутренний интеграл не имеет первообразной или неопределён (undefined). Для сложной команды можно использовать палитру выражения (см. ниже).

2. Определённый интеграл. Переменные интегрирования считаем независимыми. Для каждого оператора int необходимо указать пределы аргументов, по которым интегрируем. В остальном формат команд тот же, что и выше.

Пример: нахождение массы шара с постоянной плотностью . Интегрируем в сферических координатах r, , . Подинтегральная функция включает якобиан преобразования r^2*sin(alpha). (Промежуточные формулы не выведены).

> phi:=rho*r^2*sin(alpha); M:=int(int(int((phi),beta=0..2*Pi),alpha=0..Pi),r=0..R);

Если имеются затруднения в наборе составной формулы многократного интеграла, наберите 3 последовательных интеграла, или используйте палитру выражения.

> M1:=int(phi, beta=0..2*Pi): M2:=int(M1, alpha=0..Pi): M3:=int(%, r=0..R);

> int(int(int(%?, %?=%?..%?), %?=%?..%?), %?=%?..%?);

Последняя строка набрана с помощью палитры. Сравните её с командой для М, набранной выше. Для вычисления следует подставить значения на место символов %?.

>

15. Вычисление и графическое представление интегралов.

Вычисление интеграла, выведенного в аналитическом виде - операторы eval или evalf (см. п. 5). Для примера п. 14:

> phi:=rho*r^2*sin(alpha); int(int(int((phi), beta=0..2*Pi), alpha=0..Pi), r=0..R): M:=evalf(subs([rho=2, R=5], %));

Когда промежуточная формула не интересует нас, можно вставить команды evalf(subs(...)) сразу в предыдущую команду (как внешние) и получим численное значение М.

> M:=evalf(subs([rho=2, R=5],int(int(int((phi), beta=0..2*Pi), alpha=0..Pi), r=0..R)));

Другие примеры:

> V:=evalf(4*Pi*int(r^2, r=0..1), 7);

(объём шара единичного радиуса);

> int(x^2*exp(-x),x=0..infinity); evalf(int(x^2*exp(-x),x=0..1));

Последние примеры показывают вычисление интеграла без его представления формулой. Это можно применять, когда интеграл не имеет аналитического выражения ("не берётся"). Тогда программа вычисляет его численным методом с достаточной точностью.

В таких же случаях можно и представить интеграл графически:

> plot(int(x^2*exp(-x), x=0..z), z=0..10);

График 15.1. Асимптотическое приближение интеграла к найденному выше значению 2.

>