13.1. Неопределённый интеграл.
Формат команды (для произвольной подинтегральной функции):
> int(f(x), x);
Подинтегральная функция дана в общем виде, и ответ выведен также в общем виде. Символ дифференциала вставлен по формальным соображениям в выведенный результат. Произвольная константа интегрирования на экран не выводится! х - переменная интегрирования (обязательный параметр). Конкретные примеры:
> int(x^n, x); int(x^2*exp(-x), x): phi:=collect(%, exp(-x)); f:=a*x^2/(1+b*x^2);
F:=factor(int(%, x));
Программа может затребовать дополнительные сведения о параметрах функции. Например, при нахождении 1-го интеграла программа может затребовать дополнительные сведения о величине n, т. к. при n = -1 интеграл имеет другой вид! Тогда следует указать требуемое условие, (например: assume(n>0)).
Графическая иллюстрация связи подинтегральной функции и её первообразной.
> phi:=x*exp(-x); psi:=int(%, x);
> plot([phi, psi], x=-1..5, style=[line, point]);
График 13.1. Сравните с графиками функции и её производной в п. 12. Первообразная имеет минимум, когда подинтегральная функция = 0.
Интегрирование функций комплексного переменного.
> F1:=int(x*exp(-I*x), x); int(exp((2-I)*x), x); F2:=convert(%, trig);
Когда программа не имеет аналитического выражения интеграла (или он введён с ошибкой), она возвращает его в виде введённой формулы.
> int(exp(-x^2)*ln(x^2), x);
В ряде случаев программа выводит результат в виде высших трансцендентных функций (см. п. 10). Пример:
> int(exp(-x^2), x);
Описание таких функций есть в Help.
13.1.1. Справка о функции erf(X) (Интеграл ошибок или интеграл вероятности).
erf - The Error Function
erfc - The Complementary Error Function and its Iterated Integrals
Calling Sequence
erf(x); erfc(x)
Parameters
x - algebraic expression
Description
The error function is defined for all complex x by
erf(x) = 2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x)
The complementary error function is defined by
erfc(x) = 1 - erf(x) = 1 - 2/Pi^(1/2) * int(exp(-t^2), t=0..x)
Examples
> erf(infinity);
> erf(3); evalf(%);
> plot(erf(x), x=-2..2);
График 13.2. Представление интеграла ошибок.
Здесь дана сокращённая справка.
Другой пример:
> int(exp(-x^4), x=0..infinity);
13.1.2. Справка о функции (z)
GAMMA - Gamma and incomplete Gamma functions
Calling Sequence
GAMMA(z)
Parameters
z - algebraic expression
Description
The Gamma function is defined for Re(z)>0 by
GAMMA(z) = int( exp(-t)*t^(z-1), t=0..infinity )
and is extended to the rest of the complex plane, less the non-positive integers, by analytic continuation. GAMMA has a simple pole at each of the points z=0,-1,-2,....
> plot(GAMMA(z), z=-4..5, -10..20);
График 13.3. Представление Гамма-функции.
> GAMMA(n+1)=convert(GAMMA(n+1), factorial);
>
13.2. Определённый интеграл.
Формат команды (для произвольной подинтегральной функции):
> int(f(x), x=a..b);
"x = a..b" - обозначение пределов и области интегрирования. Многоточие изображено двумя точками! Один или оба предела могут быть бесконечностями.
В некоторых случаях программа нуждается в дополнительном определении параметров или области значений аргумента. Пример:
> int(exp(B*x^2), x=0..infinity);
Definite integration: Can't determine if the integral is convergent. Need to know the sign of --> -B. Will now try indefinite integration and then take limits.
Maple не может определить, сходится ли интеграл и требует знак B. Заданный выше интеграл сходится для В<0.
> assume(B<0); int(exp(B*x^2), x=0..infinity);
В некоторых случаях, как подсказывает программа, можно попробовать найти неопределённый интеграл, а затем вычислить его предел.
Другие примеры:
> int(x^n, x=a..b);
limit: "need to determine the sign of, -n-1"
Warning, unable to determine if 0 is between a and b; try to use assumptions or use the AllSolutions option
> assume(n>-1); int(x^n, x=a..b);
Перед интегрированием введено затребованное программой условие на n (см. выше).
> int(sin(x), x=a..b);
Иногда интеграл может оказаться не имеющим определённого значения (undefined):
> int(sin(x), x=0..infinity);
Не путайте этот ответ программы с понятием неопределённого интеграла!
Определённый интеграл также может выражаться высшей трансцендентной функцией.
> assume(a>0); int(exp(-a*x^2), x=0..z); int(exp(-a*x^2), x=0..infinity);
int(x^n*exp(-x), x=0..infinity);
Определённый интеграл функции комплексного переменного (пределы могут быть в комплексной плоскости).
> int(x*exp(-I*x), x=0..1); int(x*exp(-I*x), x=0..1+I);
>