Вычисление пределов
1). На основании свойств пределов вычислить:
(значение предела нужно подставлять)
Основную проблему в вычислении пределов представляет собой раскрытие неопределённостей:
2).
Раскрытие
неопределённости
часто
снимается делением числителя и знаменателя
на
наивысшую степень неизвестного, встречающегося в них.
3).
при
n
→
4).
часто
снимается делением числителя и знаменателя
на общий множитель
5). Иногда снятию такой неопределённости помогает домножение числителя и знаменателя на
сопряжённый радикал или использование таблицы эквивалентностей:
6).
На
второй замечательный предел
7).
Рассмотреть 2
случая 
Непрерывность функции
Опр.1: Функция y = f(х) называется непрерывной в точке х0 , если
Опр.2: Функция y = f(х) называется непрерывной в точке х0 , если бесконечно малому приращению аргумента (Δx) в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции (Δy), т.е.
,
где
Опр.3: Функция y = f(х) называется непрерывной на [a;b] или на (a;b) , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (или интервала ).
Точки разрыва функции
Опр: y = f(х) в точке х0 терпит разрыв I-го рода , если нарушено какое – либо из условий определения (1), при условии, что пределы конечные
Пример 1:
–
разрыв
I рода
Пример 2:
Опр: Функция y = f(х) в точке х0 терпит разрыв II рода, если хотя бы один из пределов слева или
справа бесконечен или не существует.
Пример:
гипербола
в
точке х
= 0 терпит разрыв второго рода
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Теорема 1:
Если f(X) непрерывна на [a;b], то на этом отрезке найдётся хотя бы одно значение x1, такое что f(х1) > f(х) для любого x [a;b]
и по крайней мере точка x2 , такая что f(х2) < f(х) для любого x [a;b] x1 x2
т.е. f(х) непрерывная на [a;b] достигает на нём хотя бы один раз своего наибольшего и своего
наименьшего значения/
Замечание: на (a;b) наибольшего и наименьшего значения может не быть.
Теорема 2:
Пусть f(x) непрерывна на [a;b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка х = с , a < c < b , такая что f(с) = 0
Геометрически это значит, что график функции в точке х = с пересекает ось ОХ
Теорема 3:
Если y =f(х) непрерывна на [a;b], принимает на концах отрезка неравные значения f (a) = A и f (b) = B ; A ≠ B , то для любого μ, такого что А < μ < B найдётся точка х = с, а<c<b , в которой выполняется f(с) = μ
Т.е. функция, непрерывная на отрезке, принимает все свои промежуточные значения
Пример на языке ε1 δ1 доказать что lim an = a
a
= -2
n>3
Определение:
Число «a » называется пределом последовательности an, если для любого ε>0 существует такой номер N, что как только n >N выполняется |an – a| <ε n
Возьмем ε = 0,001
или
n > 9403 Значит за N можно взять 9403
Пример.
в
точке х
=
0
формула не определена, но мы можем найти
предел справа:
и предел слева:
Разрыв первого рода:
Пример: исходя из определения непрерывности, доказать, что f (x) непрерывна в точке х0
f (x) = y = x3 −2 точка х0 = 1