Основные элементарные функции

1) y = x^α – степенная, α − любое действительное число

а) Для α > 0 х – любое число

б) α < 0, x ≠ 0

2 ) y = a^x – показательные функции

a > 0, a ≠ 1, x – любое

3) y = log_a x - логарифмическая функция

a > 0, a ≠ 1

a >1

4) Тригонометрические

у = sinх нечётная

у = cosх чётная Период равен 2

у=tgх

у=ctgх период равен 

5) Обратные тригонометрические функции

y=arcsinx y = arccos x y = arctg x y = arсctg x

(Для функции y = sin x на отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арксинусом и обозначать так: y = arcsin x. График обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I - III координатных углов)

y = arctg x

Алгебраические функции

1). Целая рациональная функция – многочлен или полином

P_n (x) = a₀ xⁿ +a₁ x^n-1 +…a_n

a − произвольные константы

n – целое неотрицательное, x =

2). Дробно-рациональная функция

, x − любое, кроме чисел, обращающих знаменатель в 0

3). Иррациональные функция – это функции, содержащая радикалы (корни квадратные)

Пример:  =

Опр: функция не являющаяся алгебраической называется трансцендентной

Например: у = 10^х, y = sinx

Предел и непрерывность функции

Опр: Постоянное число а называется пределом переменной величины х , если для любого сколь угодно малого ε >0 существует такое значение переменной х , что все следующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x − a| < ε

Обозначается x → a , или lim x = a

Опр: х стремится к , если для любого наперёд заданного сколь угодно большого числа М>0 можно указать такое х, начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству

|x| > M , обозначается x→  или lim x = 

Предел функции

Пусть у = f(х) определена в некоторой окрестности точки х = а, причём не обязательно в самой точке.

Опр: функция у = f(х) стремится к пределу b при x → a, если для любого сколь угодно малого ε >0 существует δ > 0, такое, что как только |x − a| < δ выполняется |f (x)− b| < ε

у = f (х)

По ε находим δ, как только х попадает в δ-окрестность точки а, у попадает в ε-окрестность точки b

Может случиться, что lim f (x) не существует, но существует lim f (x) = b₁ – предел слева

x→a x →a–0

lim f (x) = b₂ – предел справа

x →a+0

Опр: y = f(х) → b при х → , если для любого сколь угодно малого ε >0 существует N > 0 , что как только |x| > N выполняется |f (x) − b| < ε , обозначается lim f (x) = b

x→

Опр: f(x)→ при x→a (т.е. является бесконечно большой) , если для любого сколь угодно большого N>0 существует δ > 0 , что как только |x − a| < δ выполняется |f (x) | > N

Обозначается lim f (x)= 

x→

Опр: f(x) называется ограниченной в данной области изменения аргумента х, если существует число M>0, т.ч. для всех х ∈ рассматриваемой области выполняется f (x) ≤ M . В противном случае функция называется неограниченной

Теорема:

Если lim f(x) =b, где b - конечное число, то f (x) при x→a является ограниченной

x→ a