Лекция 1. Дифференциальное исчисление
1). N – 1, 2, 3, 4, ….. - натуральный ряд чисел
2). N + “0” + “ – “ – целые числа
3). Цn + “n/m ” - множество рациональных чисел
4). Рациональные + Иррациональные - множество действительных чисел.
Иррациональные не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n, где m и n – целые числа Они могут появиться как результат геометрических измерений
Опр: Числовая ось – бесконечная прямая , на которой выбрана:
1) точка О – начало отсчёта
2) направление оси
3) масштаб измерения длин.
Действительные числа изображаются точками числовой оси.
Утверждение: Каждая точка числовой оси является изображением только одного действительного числа (и наоборот)
Абсолютная величина действительного числа
|x|
=
Свойства абсолютных величин:
1) |x + y| ≤|x| +|y|
2) |x − y| ≥|x| −|y| ,если x > y
3) |xyz| = |x| |y| |z|
4)
Опр: Переменной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, значение которой не меняется, называется постоянной
Опр: Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой переменной..
Опр: Переменная величина называется возрастающей, если каждое её последующее значение больше предыдущего, убывающая, если каждое последующее значение меньше предыдущего.
Опр: Строго возрастающие и строго убывающие величины называются монотонными.
Опр: Переменная Х называется ограниченной, если существует постоянное число M>0 такое, что все следующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:
x < M иначе − M ≤ x ≤ M
Функции
Опр: Если любому х принадлежащему D (области определения) соответствует одно определённое значение у, то у называется однозначной функцией от независимой переменной х и обозначается y = f (x)
Независимая переменная х называется аргументом
Зависимость y от x называется функциональной
Опр: Совокупность значений x для которых определены значения y в силу зависимости y =f(x) называется областью определения функции.
Опр: Если большему значению x соответствует большее значение y, то функция называется возрастающей, иначе – убывающей
Способы задания функции
1). Табличный
-
X
x1
x2
x3
Y
y1
y2
y3
Пример: таблицы Брадиса
2). Графический
Опр: Совокупность точек на плоскости ХОУ, абсциссы которых являются значением независимой
переменной, а ординаты значением функции, называется графиком.
Пример: электрокардиограмма
3). Аналитический (формульный) Например y = sinx
Опр: Функция называется чётной если f (–x) = f (x) , нечётной если f (–x) = – f (x), иначе функция называется функцией общего вида.
Опр: Функция называется периодической, если существует минимальное число T , такое что f(x + T) = f(x)
Опр: Функция называется сложной функцией (суперпозицией функций), если Υ = F(ϕ (Χ))