Лабораторная работа № 5 Определение моментов инерции параллелепипедов

Цель работы: Измерить величины моментов инерции параллелепипеда относительно различных осей методом крутильных колебаний, провести сравнение полученных результатов с предсказанными теоретически

Краткая теория

1 . Момент инерции любого тела относительно любой оси можно определить, если известны главные моменты инерции J_X, J_Y и J_Z. Обычно эти величины необходимо находить экспериментально. Однако для тел обладающих симметрией, их можно рассчитать достаточно просто. Рассчитаем их для однородного параллелепипеда.

Главными осями параллелепипеда являются прямые, проходящие через его геометрический центр перпендикулярно его граням. Введем жестко связанную с телом систему координат, оси которой направлены вдоль главных осей, а начало отсчета находится в геометрическом центре параллелепипеда. Для однородного тела эта точка совпадает с центром тяжести. Будем считать, что ось направлена вдоль самого короткого ребра длиной а, а ось OX - вдоль самого длинного ребра длиной с.

Вычислим осевой момент J_ZZ. При нашем выборе системы координат он будет равен главному моменту т.к. ось OZ направлена вдоль главной оси. Разобьем параллелепипед на столбики с площадью основания dS=dxdy и высотой а. Все точки такого столбика характеризуются одинаковыми значениями координат х и у. Объем его dV равен adxdy, а масса dm=dV=adxdy. Поэтому вклад этого столбика в величину J_ZZ определяется согласно формуле (29) введения

. (1)

Интегрирование (1) по у дает вклад в Jzz слоя высотой а и толщиной dx

Интегрируя полученное выражение по х, получим для всего параллелепипеда

Аналогично можно получить:

Итак, главные моменты инерции одноного параллелепипеда равны

(2)

Нетрудно заметить, что для куба, у которого а=b=с, главные моменты инерции одинаковы:

Если определены главные моменты инерции тела, то момент инерции его относительно оси, направленной вдоль вектора и проходящей через центр тяжести, рассчитывается по формуле (37) введения:

, (3)

где - , и  - это углы, которые составляет вектор с координатными осями OX, OY и OZ соответственно.

В данной лабораторной установке ось вращения тела (ось маятника) направлена по вертикали. Поэтому во всех опытах следует считать, что единичный вектор направлен вертикально вверх. Таким образом, закрепляя параллелепипед в различных положениях, мы изменяем расположение жестко связанной с телом системы координат относительно постоянного вектора и, тем самым, меняем углы ,  и .

В ычисление направляющих косинусов Cos, Cos и Cos представляет собой чисто геометрическую задачу. На рис.2 изображены некоторые возможные оси, относительно которых будут определяться моменты инерции. Видно, что направляющие косинусы осей, совпадающих с главными диагоналями, например AA₁, равны

. (4)

Образцы могут быть закреплены также в точках, лежащих посредине граней и ребер. При использовании этих точек, расположенных симметрично относительно центра тяжести (точки О), можно измерить моменты инерции относительно диагоналей соответствующих сечений или главных осей. Различные оси будут определяться различными наборами направляющих косинусов. Так для оси ВВ₁ получаем

. (5)

Итак, зная массу параллелепипеда и его геометрические размеры, можно определить моменты инерции относительно любой оси, проходящей через центр.

В заключении отметим, что в силу равенства cos²+cos²+cos²=1 моменты инерции куба относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, одинаковы и равны J_КУБ=(m/6)a².

2. Момент инерции тела относительно произвольной оси можно измерить, если знать период колебаний тела вокруг этой оси. Для определения момента инерции необходимо измерить, период крутильных колебаний, который связан с моментом инерции тела J относительно оси колебаний простым соотношением:

(6)

где  - постоянная момента упругих сил, характеризующая жесткость тела относительно деформации кручения.

Исследуемое тело жестко закрепляется в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке. Если вывести маятник из равновесия, то он будет совершать колебания с периодом . Здесь J_M- -момент инерции маятника, который равен сумме момента инерции рамки J₀ и момента инерции исследуемого тела J. Таким образом,

(7)

Если колеблется одна рамка без тела, то ее период колебаний, очевидно, равен

(8)

Исключая из этих уравнений неизвестную величину , находим

(9)

Из соотношения (9) видно, что для определения момента инерции относительно маятника необходимо измерить периоды колебания Т₀ и Т соответственно для свободной рамки и для рамки с телом. Величину J₀ необходимо определить заранее, например, измеряя периоды колебания закрепленного в рамке тела, момент инерции которого относительно оси колебаний известен из других соображений.

В данной работе в качестве такого тела используется однородный куб, моменты инерции которого (как показано выше), относительно любой оси, проходящей через его центр, одинаковы и равны. J_К=(m/6)a². Очевидно, что момент инерции свободной рамки можно определить по формуле

(10)

Здесь m и a - масса и длина ребра куба, а Т₀ и Т - периоды колебаний пустой рамки и рамки с кубом соответственно.