5 Линейные операторы
5.1 Определение и примеры
Пусть имеется линейное пространство V.
Определение.
Линейным
оператором
(линейным преобразованием) в линейном
пространст-ве V
называется правило, по которому каждому
вектору
ставится в
соответствие вектор
,
причем выполняются условия линейности:
1.
.
2.
,
– вещественное число.
Откуда по индукции получаем
.
Вектор
называют образом
вектора х,
а х
– прообразом вектора у.
Оператор пред-ставляет собой обобщение
понятия функции, когда область определения
и область значений функ-ции
принадлежат линейному пространству V.
Обозначение
напоминает обозначение функции,
где аргументом является вектор х;
оператор А,
действующий в пространстве V,
обозначают:
и называют преобразованием пространства.
Непосредственно
из определения вытекает, что
.
Примеры линейных операторов.
1. Нулевой оператор: каждому вектору ставится в соответствие 0-вектор из V –
.
2. Тождественный оператор: каждому вектору ставится в соответствие сам вектор х
.
3.
Оператор
подобия:
,
где
– некоторое действительное число.
4. В пространстве рассмотрим подпространство многочленов степени . На этом под-пространстве определим оператор дифференцирования D:
,
.
Линейность оператора D следует из линейности операции дифференцирования.
5.
В пространстве
задана фиксированная функция
;
– произвольная функция из
.
Оператор
определим так:
– оператор умножения на фиксирован-ную
функцию.
Легко проверяется его линейность:
,
где
;
– вещественные числа.
6.
В пространстве
векторов на плоскости (все векторы
выходят из начала координат) рассмотрим
преобразование
– поворот плоскости на угол против
часовой стрелки.
На
рисунке 9 преобразование поворота на
угол
против часовой стрелки. Очевидно, что
при повороте векторов
и
на этот угол диагональ параллелограмма
(их сумма) повора-чивается на тот же
угол, т.е.
.
Так же очевидно, что операции умножения
вектора на число и поворот на угол
можно выполнить в обратном порядке –
результат получим тот же. Следовательно,
это преобразование линейное.
Рисунок 9
5.2 Матрица линейного оператора
Пусть
в пространстве V
выбран некоторый базис
.
Линейный оператор А
полностью определится своим действием
на векторы базиса
.
Действительно, любой вектор
можно
представить в виде
.
Пусть А
– некоторый линейный оператор,
действую-щий в пространстве V,
тогда
.
Векторы
не зависят от х,
а зависят только от базиса и преобразования
А.
Каждый из векторов
можно разложить
по базису
(как и любой вектор пространства V).
.
Запишем координаты вектора по базису в i-ый столбец матрицы А.
.
Таким
образом, если задано линейное преобразование
и в пространстве
V
выбран некоторый
базис
,
то линейному оператору А
отвечает некоторая квадратная матрица
А
порядка n,
столбцами которой служат координаты
векторов
.
Эта матрица на-зывается матрицей
линейного оператора А
в базисе
.
Обозначать матрицу оператора А
мы будем
той же буквой А,
или
,
чтобы подчеркнуть, что матрица оператора
зависит от выбора базиса.
Найдем
теперь координаты вектора
.
Сравнивая
коэффициенты при базисных векторах
,получим
,
.
Таким образом, координаты вектора-образа линейно выражаются через координаты прообраза х и матрицу оператора А:
.
Эту запись будем называть матричной формой записи линейного оператора в базисе .
Рассмотрим несколько примеров.
1.
Матрица тождественного (единичного)
оператора
в любом базисе имеет вид:
.
Так
как ее i-ый
столбец
(1 стоит на i-ом
месте).
2. Матрица оператора подобия (диагонального оператора) имеет вид:
.
3.
Пусть V
– пространство многочленов от х
степени
.
Найдем матрицу оператора диф-ференцирования
в базисе
,
,
,
…,
.
,
,
,
,
.
Матрица
оператора D
в этом базисе
имеет вид:
.
Сменим
базис и найдем матрицу того же оператора
дифференцирования D
в базисе
:
,
,
,
,…,
.
,
,
,
,
.
Матрица
оператора в базисе
имеет
вид:
.
4.
Рассмотрим в евклидовом пространстве
оператор
,
,
где
– стандарт-ный
базис,
,
т.е. Р
– оператор проектирования на линейную
оболочку
.
Для каждого базисного вектора
,
,
имеем
(единица стоит на k-ом
месте). Если же
,
то
.
Тогда матрица оператора Р:
.
Так,
если
проектирует трехмерный вектор на
плоскость ХОУ,то
,
,
,
а матрица
.
5. Матрица оператора поворота плоскости на угол против часовой стрелки в стандартном базисе :
–
уже знакомая нам ортогональная матрица.
Итак, каждому линейному оператору , где V – n-мерное пространство, в заданном базисе соответствует квадратная матрица n-го порядка. Покажем, что такое соответствие является взаимнооднозначным, т.е. каждой квадратной матрице порядка n отвечает некоторое линейное преобразование в заданном базисе.
Пусть
в пространстве V
выбран некоторый базис
и
задана квадратная матрица А
порядка n.
Пусть
.
Поставим в соответствие вектору х
вектор
такой, что
,
т.е.
,
здесь
и
координаты прообраза х
и образа у
в базисе
.
Так заданный оператор является линейным (легко проверяется). Найдем матрицу построен-ного оператора, пользуясь введенным правилом.
,
,
т.е. матрица совпадает с заданной матрицей А. Значит, каждая квадратная матрица является мат-рицей некоторого линейного оператора. Итак, выбор базиса в n-мерном пространстве V устанав-ливает взаимно однозначное соответствие между линейными операторами, действующими в этом пространстве и квадратными матрицами порядка n.
Как уже говорилось, матрица оператора зависит от выбранного в пространстве базиса. Определим, как меняется матрица оператора с изменением базиса. Связь старого (исходного) базиса и нового задается матрицей перехода С. Следующая теорема устанавливает связь между матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах.
Теорема.
Пусть
и
два базиса в n-мерном
линейном пространстве V,
С
– матрица перехода от
к
,
и
– матрицы оператора А
в этих базисах. Тогда
.
Доказательство.
Обозначим
вектор-столбцы координат векторов
в базисах
и
соответственно
.
Напомним, что
,
.
Пусть
теперь
,
.
Выразим матрицу
оператора в
базисе
через матрицу
перехода С
и матрицу
оператора в
базисе
:
;
.
Сравнивая
результаты, получим:
.
Матрицы А
и В
подобны,
если существует невырожденная матрица
Р,
что
;
тогда
.
Итак, матрицы оператора и в различных базисах подобны, и определитель матрицы оператора не зависит от выбора базиса.
Пример.
В пространстве
матрицы оператора в стандартном базисе
,
имеет вид:
.
Найти матрицу того же преобразования
в базисе
и
.
Решение.
Заметим, что
линейно независимы и образуют новый
базис в
.
Выпишем матрицу перехода от
к
,
для чего запишем координаты векторов
в стандартном бази-се в столбцы матрицы
С.
.
,
откуда
.
Покажем, как по другому можно получить ту же матрицу .
Координаты и матрица оператора задана в стандартном базисе. Найдем образы и в том же базисе :
;
или
;
.
(*)
Нам
надо получить выражения образов
и
в базисе
.
.
Подставляя
выражения
и
через
и
в равенства (*), получим
,
.
Выписывая
по столбцам координаты образов
и
в базисе
,
получим
.