2. Ильин, в. А. Линейная алгебра [Текст] / в. А. Ильин, э. Г. Поздняк. – м. : Физматлит, 2007 (гриф мо рф).

№ п/п

Компетенция

Алгоритм

1

Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы А по-рядка n

1. Составить характеристический многочлен

.

2. Написать характеристическое уравнение

.

3. Найти корни характеристического уравнения – собственные числа матрицы А.

4. Для каждого составить систему урав-нений для определения собственных векторов, отвечающих собственному числу .

5. Найти фундаментальную систему решений полу-ченной системы – базис собственного продпрост-ранства .

6. Объединить все найденные системы по всем раз-личным корням характеристического многочлена. Получаем линейно независимую систему из собственных векторов матрицы А

2

Построить ортогональную систему векторов по заданной линей-но независимой системе (орто-гонализовать систему векторов )

1. Положить .

2. , где . Получаем ортогона-льную пару векторов .

3. Для любого k=3, 4,…,m .

4. Выписать полученную систему ортогональных векторов g₁,g₂,…,g₃ линейные оболочки системы {f} и {g} совпадают: L(f₁,f₂,…,f_m) = L(g₁,g₂,…,g_m)

3

Выписать матрицу А квадратичной формы Q(x) = (Ax,x), где xR. Проверить, будет ли квадратичная форма положительно определенной (по критерию Сильвестра)

1. Пусть

Тогда матрица квадратичной формы , здесь

.

Получится симметричная матрица А.

2. Вычислить все угловые миноры матрицы А:

:

3. Применить критерий Сильвестра: если , то квадратичная форма поло-жительно определена

4

Привести квадратичную форму Q(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием ( )

1. Выписать симметричную матрицу А квадратич-ной формы.

2. Найти собственные числа матрицы А.

3. Найти собственные векторы , отвечающие собственным значениям . Они образуют ба-зис в R³.

4. Ортогонализовать базис , т.е. получить ортогональный базис

№ п/п

Компетенция

Алгоритм

5. Нормировать базис {g}: .

– ортонормированный собственный базис матрицы А.

6. Составить ортогональную матрицу С, столбцами которой служат собственные векторы ₁, ₂, ₃.

С – ортогональная матрица перехода от стандарт-ного базиса {e} к базису .

7. Сделать замену переменных х=Су, которая приво-дит квадратичную форму Q(x)=(Ax,x) к каноничес-кому виду .

8. Записать обратное преобразование координат

5

Привести центральную кривую вто-рого порядка с центром в начале коор-динат к кано-ническому виду (предварительно сле-дует убедиться в том, что центр нахо-дится в начале координат)

1. Выписать матрицу квадратичной формы

, где a₂₁ = a₁₂.

2. Найти собственные числа ₁, ₂.

3. Найти ортонормированные собственные векторы ₁, ₂.

4. Составить матрицу перехода С от базиса {e} к базису .

5. Записать канонический вид кривой

.

6. Определить тип кривой, сделать чертеж

6

Проверить образует ли линейное под-пространство множество W, в котором определены операции сложения и ум-ножения на число

1. Пусть , т.е. для них выполнены условия, определяющие множество W. Составить вектор , где – произвольные числа.

2. Выяснить, принадлежит ли вектор z множеству W, т.е. выполнены ли для z условия, определяющие множество W.

3. Сделать вывод:

если ZW, то W – подпространство; в противном случае, множество W не является подпространством

7

Выяснить, образует ли данная система векторов {f} базис линейного прост-ранства

1. Выписать стандартный базис {e} данного линей-ного пространства и определить размерность прост-ранства.

2. Определить координаты данной системы векто-ров {f} в стандартном базисе {e}.

3. Составить матрицу А из координат векторов {f} в базисе {e}.

4. Найти ранг матрицы А.

5. Сделать вывод:

если rank А равен размерности пространства, то сис-тема {f} образует базис, в противном случае – нет

8

Найти координаты вектора х в новом базисе {f}, если он задан в базисе {e}

1. Определить координаты новой системы {f} по старому базису {e}.

2. Записать координаты вектора по базису {e} в j-ый столбец матрицы С.

Полученная невырожденная матрица есть матрица перехода С от старого базиса {e} к новому базису {f}.

3. Пусть – вектор – столбцы координат х в соответствующих базисах. .

№ п/п

Компетенция

Алгоритм

4. Найти обратную матрицу .

5. Вычислить координаты вектора х в новом базисе {f}:

9

Проверить линейность заданного опе-ратора

1. Составить вектор , где – числа, .

2. Найти образ .

3. Найти образы Ах и Ау.

4. Проверить, совпадают ли векторы и .

.

5. Сделать вывод:

если равенство в п. 4 верно, то оператор А – линей-ный, в противном случае – нет

10

Написать матрицу оператора А в за-данном базисе {e}

1. Найти образы базисных векторов и записать их координаты в исходном базисе {e}.

2. Записать в k-ый столбец А координаты вектора по базису {e}.

Полученная матрица А – матрица оператора А в базисе {e}

11

Найти координаты образа у=Ах в за-данном базисе {e}

1. Написать матрицу А оператора А в базисе {e}.

2. Выписать вектор – столбец x_e координат х в базисе {e} и определить координаты y_e вектора у в базисе

{e}: y_e = A  x_e

12

Определить как меняется матрица оператора А при переходе от базиса {e} к базису {f}

1. Составить матрицу перехода С от {e} к {f}, вы-числить .

2. Записать матрицу оператора А в базисе {e}.

3.Вычислить матрицу оператора в базисе {f}:

13

В пространстве P многочленов степе-ни задана система векторов и преобразование А. Убедить-ся, что {f} – базис, оператор А – линейный, написать матрицы опера-тора А в базисах {e} и {f}, где {e} – стандартный базис

1. Выписать стандартный базис пространства P:

.

2. Выяснить, образует ли система векторов {f} базис пространства P (см. умение 7).

3. Проверить линейность оператора А (см. умение 9).

4. Выписать матрицу перехода С от базиса {e} к базису {f} (см. умение 8), вычислить .

5. Написать матрицы оператора А в базисах {e} и {f}.

6. Убедиться, что A_f = C^–1A_eC