Литература

№

п/п

Умение

Алгоритм

1

Умножение матриц:

а) умножение матрицы порядка на вектор ,

б) вычисление произ-ведения квадратных матриц А и В:

1. Проверить, совпадает ли число столбцов матрицы с числом координат вектора . Только в этом случае умножение вектора слева на матрицу возможно.

2. Определить, сколько координат будет у вектора-произведения: вектор , число его координат равно числу строк матрицы А.

3. Вычислить координаты вектора по формулам .

4. Рекомендуется векторы и записывать в виде вектор-стол-бцов:

1. Убедиться, что матрицы и имеют одинаковый порядок . Тогда их произведение будет квадратной матрицей того же порядка n:

2. Вычислить элементы матрицы С по формулам

Таким образом, есть скалярное произведение i-й вектор-строки на j-й вектор-столбец матрицы .

3. Выписать ответ.

Замечание. При умножении матриц нельзя переставлять множи-тели, может получиться совсем другая матрица-произведение

2

Приведение прямоугольной матрицы к ступенчато-му виду:

а) вычисление ранга матрицы

б) вычисление ранга системы векторов

1. Переставить строки матрицы так, чтобы в верхнем левом углу (первый элемент первой строки) оказался ненулевой "ведущий" элемент (для ручного счета желательно, чтобы этот элемент был равен единице (или –1).

2. Переписать первую строку без изменения. Применяя элемен-тарные преобразования, получаем нули под выбранным "ведущим" элементом. Образовали первую "ступеньку".

3. Оставляем без изменения первую строку и первый столбец полученной матрицы. Операции, описанные в пп. 1 и 2, приме-няются к "укороченной" матрице (без первого столбца и первой строки) и повторяются до тех пор, пока исходная матрица не будет приведена к ступенчатому виду.

4. Для вычисления ранга матрицы r(А) следует подсчитать число угловых элементов в ступенчатой форме матрицы. Ранг исходной матрицы r(А) равен числу угловых элементов.

1. Составить матрицу из координат векторов, записав в первую строку координаты , во вторую - координаты и т.д.

2. Привести полученную матрицу к ступенчатому виду и определить ее ранг.

3. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из их координат. Выписать ответ

№

п/п

Умение

Алгоритм

3

Вычисление обратной матрицы

а) методом Гаусса

б) с помощью алгебра-ических дополнений

1. Приписать к квадратной невырожденной матрице справа за вертикальной чертой единичную матрицу того же порядка. Полу-чим матрицу .

2. Привести матрицу к ступенчатому виду, используя изве-стные элементарные преобразования.

3. Полученную ступенчатую матрицу привести к виду, где слева будет единичная матрица . К элементарным преобразованиям первого и второго типов добавляется преобразование третьего типа - умножение (деление) строки на число. Преобразования следует начинать с последней строки. Окончательно матрица будет иметь вид .

4. Выписать обратную матрицу , где - матрица, стоящая справа от в последней преобразованной матрице.

1. Вычислить определитель матрицы , убедиться, что .

2. Для каждого элемента вычислить его алгебраическое допол-нение и составить матрицу

3. Транспонировать матрицу , получить "присоединенную" мат-рицу

4. Разделить все элементы матрицы на ; обратная матрица . Выписать обратную матрицу:

4

Решение систем линей-ных уравнений мето-дом Гаусса:

а) нахождение общего решения однородной системы в коор-динатной и векторной форме

1. Выписать матрицу коэффициентов при неизвестных и привести ее к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса).

2. Выписать ступенчатую систему уравнений и определить ранг .

3. Сравнить с числом переменных

и определить, сколько решений имеет система: если , то система имеет множество решений, следует перейти к п. 4 для отыскания общего решения; если , то система имеет един-ственное решение - тривиальное - .

4. Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, для которых угловые элементы служат коэффициентами, считать зависимыми, остальные переменных - свободными

№

п/п

Умение

Алгоритм

б) исследование на сов-местность неоднород-ной системы , нахождение ее общего или единствен-ного решения

5. Выразить зависимые переменные через свободные из ступен-чатой системы уравнений (обратный ход метода Гаусса).

6. Выписать общее решение в координатной форме. Общее реше-ние определяется формулами, полученными в п. 5. Эти выражения описывают все множество решений однородной системы: давая свободным переменным (параметрам) любые значения и вычисляя несвободные переменные, получим все решения системы.

7. Выписать общее решение в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, будем придавать свободным пере-менным последовательно значения, соответствующие линейно независимым векторам

.

По формулам п. 5 вычислим соответствующие значения . Получим фундаментальную систему решений (ФСР) - базис в про-странстве решений однородной системы . Общее реше-ние в векторной форме имеет вид , где – произвольные постоянные.

1. Записать расширенную матрицу системы , приписав к основной матрице вектор свободных членов: .

2. Привести матрицу к ступенчатому виду и определить и .

3. Исследовать систему на совместность. Если , то система несовместна (не имеет решения). Если где – число переменных, то решение един-ственное, перейти к п. 7. Если перейти к п. 4.

4. Выписать ступенчатую систему уравнений, соответствующую ступенчатой форме матрицы .

5. Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, "соответствующие" угловым элементам, - зависимые, остальные - свободные. Выразить зависимые переменные через свободные (обратный ход метода Гаусса).

6. Найти общее решение в координатной форме. Полученные в п. 5 выражения зависимых переменных через свободные и вектор пра-вых частей определяют параметрическую запись общего решения в координатной форме. Чтобы получить запись общего решения в векторном виде, следует перейти к п. 8.

7. Единственное решение получаем обратным ходом методу Гаусса, используя ступенчатую систему п. 4: из последнего уравнения находим , подставляем в предпоследнее уравнение, вычис-ляем и т.д., пока не найдем вектор-решение .

8. Записать общее решение неоднородной системы в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, найдем некоторое частное решение неоднородной системы . Выпишем общее решение соответствующей однородной системы в координатном виде. Для этого в формулах п. 5 следует свободные члены (константы) считать нулевыми. Найдем ФСР однородной системы и общее решение однородной системы . Общее решение неоднородной системы имеет вид

№

п/п

Умение

Алгоритм

5

Вычисление определи-теля методом Гаусса

1. Привести исходную квадратную матрицу к ступенчатому (верхнетреугольному) виду.

2. Подсчитать число , равное числу перестановок строк при приведении матрицы к ступенчатому виду.

3. Вычислить определитель матрицы . Определитель равен произведению элементов главной диагонали ступенчатой матрицы, умноженному на множитель

6

Решение невырожден-ной системы уравне-ний с помощью обратной матрицы

1. Найти и убедиться, что матрица - невырожденная.

2. Найти обратную к матрице матрицу .

3. Вектор-решение системы получить по формуле