7.3 Многочлены

Функция , где n – натуральное число, – коэффициенты (действительные или комплексные числа), называется многочленом (полиномом) от x. Число n называется степенью многочлена.

Корнем многочлена называется такое значение переменной x, при котором многочлен обращается в нуль. Таким образом, если x = a – корень , то . Как мы уже видели, корнем многочлена может быть действительное или комплексное число. Так, многочлен имеет три корня: , , , ; ; .

Любой многочлен n-й степени можно поделить на с остатком: , где – многочлен степени , c – константа. Найдем c. Положим в последнем равенстве , тогда . Значит, . Если корень a – корень многочлена , то и .

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если a – корень многочлена степени n, то многочлен можно предста-вить в виде , где – многочлен степени .

Чтобы найти , достаточно «поделить уголком» на разность . Например, , очевидно, имеет действительный корень , тогда поделим на (x–1), полу-чим и .

Теорема 2 (основная теорема алгебры)

Всякий многочлен n-й степени имеет комплексный (в частности, вещественный) корень. Получив представление , где – корень , применим ту же процедуру к : пусть – корень многочлена , тогда , где – многочлен степени , и .

Продолжив процесс разложения на множители, окончательно представим в виде . Некоторые из множителей могут совпадать. Объединяя их, получим , где . Числа называются кратностями корней .

Если число a – корень многочлена кратности K, то будем считать, что многочлен имеет K одинаковых корня .

Так, многочлен .

Окончательно, ; корень имеет кратность K = 3, остальные корни простые (их кратность равна единице).

Теорема 3. Всякий многочлен n-й степени имеет с учетом кратности ровно n корней (вещест-венных или комплексных).

Теорема 4. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

Обычно в разложении многочлена на множители скобки с комплексными корнями перемножают, получают квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами (и дискриминантом ).

В нашем примере .

Задания для самостоятельной работы

1. Составьте логическую схему базы данных по теме юниты:

2. Задачи для самостоятельного решения:

Номер варианта каждого студента совпадает с его номером в списке группы. Задание состоит из двух задач.

Задача 1. Дана матрица C и вектор .

Используя метод элементарных преобразований Гаусса, определить:

1) ранг матрицы C;

2) общее решение однородной системы уравнений , где

, – вектор неизвестных, – вектор правых частей однородной системы. Выписать решения в координатной и векторной формах;

3) совместна ли неоднородная система уравнений ?

Если совместна, найти ее общее (или единственное) решение в координатной и векторной формах.

Задача 2. Даны матрицы A и вектор . Считая вектор вектором неизвестных, выписать систему уравнений :

1) вычислить определитель матрицы A, убедиться, что матрица A невырожденна, ;

2) найти матрицу ;

3) решить неоднородную систему , найти вектор-решение;

4) найти произведение матрицы на вектор .

№ варианта	Задача 1				Задача 2
1
2
3
4
№ варианта	Задача 1				Задача 2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
№ варианта	Задача 1				Задача 2
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
№ варианта	Задача 1				Задача 2
27
28
29
30