С овременная

Гуманитарная

Академия

Дистанционное образование

________________________________________________________

2002.03.02;РУ.01;2

Рабочий учебник

Фамилия, имя, отчество обучающегося___________________________________________________

Направление подготовки_______________________________________________________________

Номер контракта______________________________________________________________________

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЮНИТА 3

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ I

МОСКВА 2009

Разработано И.А. Красовской, Д. Х. Керимовой

Под ред. Б.П. Осиленкера, д-ра физ.-мат. наук, проф.

Рекомендовано Учебно-методическим

советом в качестве учебного пособия

для студентов СГА

КУРС: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Юнита 1. Элементы векторной алгебры. Аналитическая геометрия на плоскости.

Юнита 2. Аналитическая геометрия в пространстве.

Юнита 3. Линейная алгебра. Часть 1.

Юнита 4. Линейная алгебра. Часть 2.

ЮНИТА 3

Рассмотрены основные понятия линейной алгебры: пространство Rⁿ, матрицы, системы линейных уравнений (метод Гаусса), обратная матрица и др., комплексные числа, многочлены и их корни.

Для студентов Современной Гуманитарной Академии

_____________________________________________________________________________________

© СОВРЕМЕННАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ, 2009

(настоящее учебное пособие не может быть полностью или частично воспроизведено, тиражировано и распространено в качестве официального издания без разрешения руководства СГА)

Соответствие системы менеджмента качества СГА в сфере создания информационных образовательных ресурсов требованиям международного стандарта ISO 9001:2000 (ГОСТ Р ИСО 9001-2001) подтверждено

Сертификатом соответствия Стандарт-тест

Оглавление

Стр.

Дидактический план 4

Литература 5

Перечень умений 6

Тематический обзор 10

1 Арифметическое линейное пространство Rⁿ 10

1.1 Основные понятия и определения 10

1.2 Линейная независимость. Базис в пространстве Rⁿ 11

1.3 Подпространство пространства Rⁿ 13

2 Матрицы 14

2.1 Основные определения 14

2.2 Действия над матрицами 15

2.3 Ранг матрицы 19

2.4 Элементарные преобразования. Приведение матрицы к ступенчатому виду 20

3 Система линейных уравнений 22

3.1 Основные определения и понятия 22

3.2 Однородные системы 23

3.3 Неоднородные системы 25

4 Определители 28

4.1 Определители второго и третьего порядков 28

4.2 Определители n-го порядка. Основные свойства определителей 29

^{5 Обратная матрица} 30

^{5.1 Определение. Вычисление обратной матрицы} 30

5.2 Правило Крамера 32

6 Применение линейной алгебры к задачам экономики 33

6.1 Простейшие экономические задачи. Модель «затраты–выпуск» 33

6.2 Модель межотраслевого баланса (Леонтьева) 36

7 Многочлены. Понятие о комплексных числах 38

7.1 Определения. Действия над комплексными числами 38

7.2 Тригонометрическая форма комплексного числа 39

7.3 Многочлены 44

Задания для самостоятельной работы 46

Тренинг умений 51

ГЛОССАРИЙ 69

Дидактический план

Пространство Rⁿ. Определение Rⁿ, основные аксиомы. Линейная независимость. Базис. Координаты вектора по базису. Размерность пространства. Подпространство пространства Rⁿ. Примеры. Ранг системы векторов.

Матрицы. Матрицы прямоугольные, квадратные, верхнетреугольные и др. Действия над мат-рицами (сложение, умножение на скаляр, умножение матриц). Ранг матрицы. Элементарные преобразования. Приведение матрицы к ступенчатому виду.

Системы линейных уравнений. Общие понятия и определения. Однородные системы и их основные свойства. Фундаментальная система решений. Метод Гаусса. Запись общего решения однородной системы в координатной и векторной форме. Неоднородные системы. Критерий совместной системы. Метод Гаусса для получения общего решения. Запись решения в векторной форме. Сдвиг подпространства.

Определители. Определители второго и третьего порядков. Вычисление определителя n-го порядка разложением по строке (столбцу). Алгебраическое дополнение элемента a_ij. Основные свойства определителей.

Обратная матрица. Определение. Критерий существования обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Метод Гаусса для вычисления обрат-ной матрицы. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Правило Крамера.

Применение линейной алгебры к задачам экономики. Использование операций над матри-цами и систем линейных уравнений в простейших задачах. Модель «затраты - выпуск». Модель межотраслевого баланса (Леонтьева). Продуктивная матрица.

Многочлены. Понятие о комплексных числах. Определение комплексных чисел. Изобра-жение на плоскости. Действия над комплексными числами. Тригонометрическая форма записи. Многочлен. Корень многочлена, его кратность. Разложение многочлена на множители.