3.4. Пример нахождения временных характеристик

. Проверка К(0)=1, по схеме при ω=0 индуктивность перемычка (ωL=0)и то же 1, при ω=∞ К(∞)=0, индуктивность разрыв и то же получается 0 (сигнал на выход не проходит).

Определив коэффициенты A и B,

получаем: Тогда:

Проверка: при t=0 h_U(0)=0 и по схеме то же 0 (индуктивность - разрыв), h_U(∞)=1 и по схеме 1 (индуктивность – перемычка). Найдем импульсную характеристику через производную переходной

4. Реакция цепи на сложное кусочно-непрерывное воздействие. Интегралы Дюамеля и наложения

4.1. Общие понятия

Рассмотрим следующую задачу: на вход цепи полается сложное воздействие x(t), необходимо определить реакцию цепи y(t).

С уществует два способа решения подобных задач:

1 Способ

Можно сложную функцию разбить на сумму простых, например, на элементарные ступеньки, т.е.: ,

х(0) – начальная ступенька, Δτ - промежуток времени между ступеньками, Δx_K – приращение х и его можно выразить через производную по вспомогательной переменной τ Тогда реакция цепи может быть найдена приблизительно как сумма реакций на отдельные ступенчатые воздействия с использованием переходной характеристики.

Здесь сначала находится реакция на начальный скачок, а затем используется запаздывающая на k∙Δτ переходная характеристика. Чтобы точно найти реакцию, надо устремить

Тогда сумма перейдет в интеграл: , где t – момент наблюдения.

Э та формула получила название интеграла Дюамеля (один из вариантов). Этой формулой удобно пользоваться, особенно если x(t) – линейная функция, так как производная при этом постоянна .

2 Способ

Можно исходную функцию разбить на короткие прямоугольные импульсы.

В этом случае реакцию можно найти с использованием запаздывающей импульсной характеристики (реакция пропорциональна площади импульса).

Тогда:

При получаем: . Это интеграл наложения.

4.2. Временной метод расчета переходных процессов

Данный метод основан на применении интегралов Дюамеля и наложения.

Пусть есть некоторое воздействие x(t) сложного вида

0

1. Разбивают ось времени на интервалы непрерывности функции воздействия:

2. Выбирают вид использующегося интеграла: интеграл Дюамеля или интеграл наложения.

3. Для цепи определяют временные характеристики h(t) или g(t).

4. Для каждого интервала записывается своя формула вычислений с использованием интегралов.

Пример использования интеграла Дюамеля

1. y(t)=0, t<0

2. 

3. 

4)

. Здесь равенство по t применяется в каждом выражении, поскольку в реакции могут быть скачки и по разным формулам при одном и том же t могут получаться разные значения.

Пример использования интеграла наложения

Здесь запись формул выглядит проще, но вычислять интегралы тут сложнее.

4.3. Расчет отклика (реакции) на прямоугольный импульс

Возьмем для примера цепь:

Параметрами импульса являются его амплитуда и длительность.

1. Можно рассчитать классическим методом (рассматривать включение и выключение напряжения). Это будет точно, когда импульс достаточно длинный (переходной процесс в течение импульса практически закончится)

2. Операторный метод. Можно сразу получить результат независимо от длительности импульса, если мы знаем операторное изображение прямоугольного импульса. Это можно сделать, разбив импульс на две ступенчатые составляющие, соответствующие амплитуде импульса и определяющие включение и выключение импульса, которое запаздывает относительно включения на время импульса.

0

-U_u С учетом теоремы запаздывания

С учетом операторной схемы замещения:

Далее надо найти оригинал такого выражения, при этом целесообразно разбить операторное выражение на две составляющие обычную и с экспонентой, которая будет соответствовать запаздывающей функции для оригинала.

3. Можно применить временные характеристики (частный случай интеграла Дюамеля – собственно интеграла не будет, так как производная воздействия равна 0). Для этого надо найти h_u(t) и определить отклик с учетом начального скачка при 0 и отрицательного при выключении импульса.

По схеме замещения h_u(0)=1, h_u(∞)=0 u₂(0)=U_u, u₂(∞)=0.

Примерный график отклика цепи на импульс при апериодическом режиме и относительно коротком импульсе.

Возьмем для примера цепь:

Найдем переходную характеристику численно с использованием ЭВМ