2.2.Законы Кирхгофа в операторной форме

Поскольку интегрирование – функция линейная и сумма интегралов соответствует интегралу суммы, то формально законы Кирхгофа можно записывать в операторном виде для операторных токов и напряжений, аналогично комплексной форме.

Рассмотрим 1 закон Кирхгофа

i₁(t)-i₂(t)-i₃(t)=0

I₁(p)-I₂(p)-I₃(p)=0

Для напряжений аналогично.

U₁(p)+U₂(p)…..=0

При записи может использоваться E(p) – операторная ЭДС или операторное изображение ЭДС.

2.3.Операторные схемы замещения реактивных элементов эц

1) Индуктивный элемент

Из математики известно, что

В этом случае: U_L(p)=L∙(p∙I_L(p)-i_L(0))=pL∙I_L(p)-L∙i_L(0).

Здесь pL=Z_L(p) –можно представить как операторное сопротивление индуктивности. Второе слагаемое отражает начальные условия или запасы энергии в индуктивности.

Таким образом, операторная схема замещения индуктивного элемента выглядит следующим образом:

2) Емкостной элемент

Из математики известно, что . Тогда для данного случая получаем: . Здесь первое слагаемое отражает начальные условия или запасы энергии в емкости, а 1/pC= Z_C(p) - операторное сопротивление емкости.

Таким образом, операторная схема замещения емкостного элемента выглядит следующим образом:

Закон Ома в операторном виде выполняется для резистора всегда

I_R(p)=U_R(p)/R, а для индуктивных и емкостных элементов только при нулевых начальных условиях.

После составления операторной схемы замещения цепи к ней можно применять любые методы расчета в операторной форме: МТВ, МКТ, МУН и др.

2.4.Применение операторного метода к параллельной lc-цепи

Здесь включаемый источник эдс и нулевые независимые начальные условия.

В полученной схеме можно рассчитать любой операторный ток.

Сделаем проверку. Должны выполняться следующие условия: . В данном случае . Произведя проверку, получаем тождество. Следовательно, решение верное. Но теперь необходимо найти ток, как функцию времени. Этому будут посвящены следующие темы.

2.5. Нахождение функции времени в операторном методе

Технически это значит нахождение откликов или реакций электрической цепи при каких-то коммутациях, т.е. зависимости токов или напряжений в электрических цепях. В общем, это математическая процедура нахождения оригинала по операторному изображению.

Теоретически можно выделить три способа :

• по обратному преобразованию Лапласа.

• табличным способом – подгонка операторного изображения под какие-то стандартные табличные функции.

Оригинал	Изображение
1
sin(ω∙t)
cos(ω∙t)

• применение теоремы разложения Хевисайда.

При определении операторных токов и напряжений в RLC-цепях можно увидеть, что они представляют собой дробно-рациональные функции сложного вида.

Хевисайдом была разработана теорема разложения сложной функции на простые с последующим определением оригинала, т.е. тока или напряжения, как функции времени.

Т.е. , где F₁(p) – полином числителя, F₂(p) – полином знаменателя.

Такую функцию можно разложить на элементарные дроби следующим образом:

. Здесь р_К - корни знаменателя.

Тогда оригинал легко ищется в виде суммы экспонент: . Причем коэффициенты . Разложение возможно, если старшая степень числителя меньше степени знаменателя.

Если один из корней равен 0, то

Рассмотрим пример:

Корни могут быть комплексно-сопряженными. В этом случае пользуются общей формулой, причем

, если . Здесь M_k- это модуль, а ψ_k - аргумент А_k.

Можно использовать программные средства ЭВМ (Mathcad) .