1.3. Анализ переходных процессов в последовательной rlc-цепи п одключение источника постоянного напряжения
1) Определим начальные условия:
а) независимые
б) зависимые
(L
–хх, C
– кз uR(0)+uL(0)+uC(0)=Е)
2) Уравнения: 0<t<∞ uR(t)+uL(t)+uC(t)=e(t)=Е
Характеристическое уравнение:
p2+(R/L)p+1/(LC)=0
(С
– разрыв)
,
Определим коэффициенты А1 и А2 .
При
t=0
,
Окончательно получаем:
3) Проверка
(корни
р1,2<0).
Найдем время и величину максимума тока
4) Определим напряжения uR, uL, uC.
При t=tm
uL(tm)=0
В зависимости от сопротивления R различают различные режимы переходного процесса цепи.
1)
.
Получаем, что
p1
и p2
– вещественные, отрицательные и
,
поэтому 2 экспонента быстрее изменяется.
0
tm
Такой режим работы называют апериодическим. Здесь емкость заряжается до Е и ток после этого прекращается.
Расчетные графики при Е=2В в апериодическом режиме
2) R=Rкр – критический режим работы
=р=
- R/2L<0
Графики
примерно такие же, но более резкие.
,
3)
Корни p1 и p2 комплексно сопряженные.
,
где
- частота свободных колебаний (ω0=
–
резонансная частота). С учетом
p1-p2=2∙j ∙ωсв
- убывающая по
экспоненте синусоида.
0
Режим переходного процесса называется колебательным. Происходит зарядка и разрядка конденсатора. В цепи происходит обмен электрической энергии емкости и магнитной энергии индуктивности. При этом ток меняет знак.
– переходное
напряжение на резисторе;
,
– переходное
напряжение на индуктивности.
Найдем
выражение для емкости
.
Составим второе уравнение для определения неизвестных коэффициентов:
.
Из нулевых начальных условий i(0)=0 , uC(0)=0 получим систему уравнений:
,
,
.
, Откуда .
следовательно
.
,
,
.
Переходное
напряжение
на емкости:
,
где
;
П
редставим
на графике соответствующие переходные
напряжения:
Квазипериод свободных
колебаний:
.
Декремент ослабления
(затухания):
Логарифмический
декремент затухания:
.
Напряжение при колебательном режиме может превысить ЭДС при переходном процессе – это надо учитывать.
Расчетные графики при Е=2в в колебательном режиме
Отключение источника в последовательной RLC-цепи
Все процессы идут в обратном направлении: емкость разряжается. Характер процесса также определяется корнями характеристического уравнения (сравниваются R и Rкр). Ток меняет направление, соответственно uR(t) и uL(t) меняют знак, а uC(t) остается того же знака.
Расчет сложных схем классическим методом
Для расчета сложных схем составляется большая система уравнений и решается. Но в инженерном плане классическим методом сложные цепи не рассчитывают из-за того, что получается большая система уравнений, да нужно решать еще одну систему уравнений для нахождения множителей экспонент и принужденных составляющих. Поэтому были разработаны другие методы.
2. Операторный метод расчёта переходных процессов. Преобразования Лапласа. Законы Кирхгофа в операторной форме
2.1.Преобразования Лапласа
Вначале операторный метод был разработан английским инженером Хевисайдом, а затем был обоснован математиками. Этот метод можно подразделить на собственно операторный метод и метод на основе преобразований Лапласа.
В операторном
методе вводятся специальные операторы
и правила действия с ними. Например,
операцию дифференцирования переводят
в операцию умножения на некоторый
символ или оператор p,
а интегрирования – в операцию деления
на оператор p.
Преобразование Лапласа (прямое)
определяется интегралом
f(t) – оригинал, F(p)- изображение по Лапласу,
р - комплексная частота (комплексная переменная) p=δ+jω.
Оригинал должен возрастать не быстрее экспоненты, f(t)=0 при t<0. Размерность изображения соответствует размерности функции, умноженной на секунду.
Не должно быть скачков ∞ разрыва в оригинале. Допускаются конечные скачки.
Найдем изображение единичной ступенчатой функции Хевисайда и экспоненты
Изображение производной и интеграла по времени
Используя эти свойства можно от интегральных и дифференциальных уравнений перейти к алгебраическим.
В ТЦ рассматривают основные законы но переводят их в операторную форму, для так называемых операторных схем замещения электрической цепи.