7.5.Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение составляется по системе дифференциальных уравнений, которая записывается на основе законов Кирхгофа (например в послед. RLC цепи).

Вещественная часть корней будет положительной, если R<0, а L>0. Тогда переходной процесс не затухающий. В общем случае это может быть, если цепь нелинейная. Если цепь передает электрический сигнал, то она характеризуется коэффициентом передачи и импульсной характеристикой . Характеристическое уравнение есть знаменатель коэффициента передачи так как именно корни знаменателя определяют показатели экспонент свободных составляющих.

Например, для цепи с обратной связью: . Здесь надо вычислить корни знаменателя, проанализировать их вещественные части и с учетом их знаков определить, устойчива цепь или нет. Если цепь сложная, то уравнение получается высокого порядка и корни искать трудно. Для того чтобы не вычислять корни, были разработаны критерии устойчивости.

7.6.Критерии устойчивости

1. Критерий Рауса-Гурвица

П олиномы некоторой комплексной переменной p называются полиномами Гурвица, если у них все коэффициенты вещественные, а все корни находятся в левой полуплоскости (отрицательная вещественная часть). Для устойчивой цепи характеристическое уравнение должно быть полиномом Гурвица. В данном критерии вычисляется определитель из коэффициентов полинома, состоящий из m столбцов и m строк (m – старшая степень полинома характеристического уравнения), составленный по столбцам из коэффициентов при степенях, отличающихся на 1 с возрастанием. По строкам идет убывание на 2. Для устойчивой цепи при b_m>0. Кроме того, вычисляются миноры. Все главные миноры должны быть так же положительными (для получения главных миноров вычеркиваем крайний правый столбец и нижнюю строку).

2. Критерий Михайлова

Здесь рассматривается характеристический полином в комплексной форме.

. K-ый корень можно

записать: . Тогда . В итоге получим: Частоту меняют от 0 до бесконечности и смотрят, что происходит с углом. . Каждый множитель с отрицательной вещественной частью с учетом знака «-» будет находиться в правой полуплоскости и даст угол поворота π/2, а с положительной угол –π/2.

Цепь будет устойчива, если суммарный угол поворота годографа характеристического уравнения при ω→∞, будет где m – старшая степень полинома (количество корней). В этом случае все корни будут иметь отрицательные вещественные части. Для применения критерия строят годограф вектора характеристического уравнения

D(j ω) и при ω меняющейся от 0 до ∞ определяют общий угол поворота. Рассмотрим m=5.

j j

0 0

Здесь на первом графике m=5 φ=2.5π и угол поворота годографа соответствует критерию для устойчивости. На втором графике φ=1,5 π и угол поворота не соответствует критерию для устойчивости.