5.2.Спектральный анализ и синтез на основе рядов Фурье

Функция называется периодической, если , где ,

k – целое число, T – период.

Теоретически функцию можно разложить и на другие составляющие, используя другие ряды. В теории цепей используются именно ряды Фурье и гармонические составляющие (частотный спектр). Ряд Фурье записывается в виде:

, где k – номер гармоники.

Коэффициенты Фурье для этого ряда находятся по формулам:

Периодические сигналы в ОТЦ представляются обычно рядом Фурье в виде:

, где - основная частота; , ω₁=2πf₁

Здесь коэффициенты рассчитываются по формулам:

.

В теории цепей используется и другая форма записи ряда Фурье:

, где: а₀/2 – постоянная составляющая,

– амплитуда k-ой гармоники, - начальная фаза.

Для удобства расчетов ряд Фурье записывается в комплексной форме:

, , .

Синтез сигналов осуществляют суммированием гармоник, используя ряд Фурье.

5.3.Графическое временное и частотное изображения спектра периодического сигнала

Временное изображение спектра сигнала Частотное изображение спектра - АЧС

Аналогично изображается ФЧС, только учитывая, что фазы могут быть отрицательными.

Такой спектр называется дискретным или линейчатым, он характерен для периодического сигнала.

5.4.Спектр последовательности прямоугольных импульсов

Рассмотрим симметричное расположение импульсов как функции времени

, где - скважность последовательности импульсов. Получается функция вида . Если рассматривать импульсы напряжения величиной U_u, то получим

, A₀=2U_u/N.

Найдем нулевые точки синуса: ,

Первая нулевая точка – самая важная для спектра последовательности прямоугольных импульсов.

постоянная составляющая .

АЧС последовательности прямоугольных импульсов при N=5:

0

ω₁ ω₂ 2π/t_u 4π/t_u

(1/t_u) (f)

Основную долю энергии несут гармоники, расположенные от 0 до первой нулевой точки (около 90% энергии). Эту область частот, где сосредоточено 90% энергии сигнала, называют шириной (частотного) спектра сигнала.

Для последовательности прямоугольных импульсов ширина спектра → [0 −1/t_u] (Гц).

Любая цифровая передача сигнала требует большего спектра, чем простая аналоговая, так как 1/t_u >1/T.

ФЧС последовательности прямоугольных импульсов:

π

если sin(m)>0, то Ψ_k =0,

если sin(m)<0, то Ψ_k = π

Влияние длительности импульса и периода на вид спектра

Если длительность импульса уменьшается, то основная частота не изменится, нулевые точки переместятся вправо. До первой нулевой точки, где сосредоточена основная энергия, попадает больше составляющих. Технически отмечают, что спектр расширяется.

Если же длительность импульса возрастает, то происходит сужение спектра.

Если период повторения увеличивается, то уменьшается основная частота. Если период повторения уменьшается, то основная частота увеличивается.

Изменение положения импульса или начала отсчета

Это не влияет на АЧС, при этом изменяется только фазовый спектр. Это можно отразить на основе теоремы запаздывания:

Смещенная на t_u /2 последовательность прямоугольных импульсов N=4

Фазовый спектр для смещенного сигнала:

0