1. Двойные интегралы

1.1. Свойства двойного интеграла

1. Арифметические свойства. Если функции , интегрируемы по области Q, а числа ,  постоянные, то существует

, ) .

По индукции это свойство распространяется на любое количество слагаемых.

2.Аддитивность двойного интеграла по областям. Если область и , то

.

Здесь символом обозначена внутренность множества . Свойство аддитивности по области нетрудно по индукции распространить на любое конечное объединение области с непересекающимися внутренностями.

3. Интегрируемость в подобласти. Если существует , то существует по любой ее квадрируемой подобласти .

4. Монотонные свойства двойного интеграла.

а) Если в области , то ;

б) Если в области , то

;

в) При существовании существует и

;

5.Двойной интеграл существует для любой непрерывной функции по квадрируемой области .

6. Если ограниченная функция непрерывна в квадрируемой области кроме некоторого множества с площадью равной нулю, то

существует. При этом, если изменить произвольным образом значения на множестве , то двойной интеграл от измененной функции равен интегралу от прежней функции.

1.2. Вычисление двойного интеграла

1. Вычисление в прямоугольнике. Пусть функция непрерывна в области . Тогда двойной интеграл вычисляется по формулам:

. (1)

Таким образом мы сводим двойной интеграл к 2-м однократным (определенным ) интегралам по отрезку.

2. Вычисление по криволинейной трапеции. Если область Q криволинейная трапеция 1-го типа :

,

где функции непрерывны на и любая прямая x= const пересекает графики функций только в одной точке, то

. (2)

Когда же область Q криволинейная трапеция 2-го типа:

,

где функции - непрерывны на и любая прямая y=const пересекает их график в одной точке, то двойной интеграл вычисляем по формуле

. (3)

По непрерывности подинтегральной функции будут существовать как двойной, так и определенные интегралы, соответствующие формулам (1),(2),(3). Таким образом и в случае криволинейной трапеции двойной интеграл вычисляется через два определенных интеграла. Это облегчает его вычисление и позволяет применять приемы интегрирования для определенного интеграла. Например, интегрирование по частям, замену переменных, таблицы интегралов и другие специальные способы.

1.3. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

1. При вычислении двойных интегралов в криволинейной квадрируемой области часто приходится переходить от формул (2), (3) и наоборот. Этот способ называется изменением порядка интегрирования. Например, это диктуется удобством вычисления двойного интеграла по области . Важно также представлять область в виде объединения криволинейных трапеций 1-го и 2-го типов. В этом случае перейдем к сумме интегралов по этим подобластям и сводим двойной интеграл к сумме повторных. Изложим некоторые способы сведения двойных интегралов к повторным.

Пример 1. Изменить порядок интегрирования в .

Решение. Здесь область и, как нетрудно видеть, является криволинейной трапецией 1-го типа. Тогда функции . Для перехода к другому порядку интегрирования представим область Q в виде криволинейной трапеции 2-го типа или как объединение этих трапеций. Сначала найдем области изменения переменных и . Используем для этого графическое изображение области на рис.1:

y

Q

x

0

1

1

2

Рис.1. Область Q примера 1.

Из рис.1 видно, что при изменении y от 0 до 1 переменная будет изменяться от до . Установим зависимость . Для этого выразим из равенств для : , которые

будут непрерывные. Как нетрудно видеть, здесь любая прямая y=const пересекает графики функций только в одной точке. Следовательно, область Q будет одновременно и криволинейной трапецией 2-го типа. Тогда по (3) интеграл

.

Таким образом здесь осуществлена перестановка порядка интегрирования .

Пример 2 . В сменить порядок интегрирования.

Решение. Очевидно, область Q здесь будет трапецией 1-го типа:

.

Но Q не является криволинейной трапецией 2-го типа. Действительно, здесь прямые y=const при пересекают график функции в двух точках. Это нетрудно увидеть из рис.2

1

y

Q

x

2

0

Рис.2. Область примера 2.

Поэтому для изменения порядка интегрирования представим область Q как объединение криволинейных трапеций 2-го типа. С этой целью выразим переменную x из равенств для функций . Тогда получаем

. Если провести прямую y=1, то получим разбиение Q на

,

,

.

Очевидно, и пересечение их внутренностей пусто. Из аддитивного свойства двойного интеграла по областям получаем:

.

Но являются криволинейными трапециями 2-го типа. Поэтому,

расставляя пределы интегрирования, получаем:

.

Отсюда получаем требуемое, так как .

Пример 3. Вычислить .

Решение. Здесь область интегрирования Q ,как нетрудно видеть, повернутый квадрат. Разобьем область интегрирования на две криволинейные трапеции 1-го типа:

,

.

Здесь пересечение внутренних областей пусто. Тогда по свойству двойного интеграла получаем

.

Окончательное вычисление предоставляем читателю. Отметим, что здесь область Q можно представить и как объединение трапеций 2- го типа.

2. К разбиению области Q на трапеции 1-го или 2-го типов приводят и задачи на интегрирование разрывных функций. В этом случае выделяют подобласти, где функция непрерывна и имеет аналитическое выражение .

Пример 4. Вычислить где .

Решение. Здесь имеет конечный разрыв на кривой – множестве с площадью нуль. Поэтому двойной интеграл существует. Разобьем область Q на 2 части:

,

.

Т

огда интеграл

,

где Q₁ и Q₂ - трапеции 1-го типа. Но функция в подобласти . Отсюда

=0.