МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского методические указания для решения задач на кратные интегралы

Рекомендовано методической комиссией факультета ВМК для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика», 010400 «Информационные технологии» и специальностям 010501 «Прикладная математика и информатика», 080801 «Прикладная информатика»

Учебно-методическое пособие

Нижний Новгород

2011

УДК 517.987 (077)

ББК В162р

М-54

М-54 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ: Составители: Калашников А.Л., Фокина В.Н. Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011.– 33 с.

Рецензент: к.ф.-м. н, доцент Н.Ю. Золотых

В пособии содержатся задачи и методические указания для их решения по разделу курса “Математический анализ”. Здесь рассмотрены двойные, тройные и поверхностные интегралы, а также способы их решения путем сведения к определенному интегралу. Изложены способы замены переменных. Пособие будет полезно при проведении практических занятий, коллоквиумов, а также экзаменов по теме “Кратные интегралы” и самостоятельной работы студентов факультета ВМК ННГУ.

Ответственный за выпуск:

председатель методической комиссии факультета ВМК ННГУ,

д.ф.-м.н., проф. Л.П. Жильцова

УДК 517.987 (077)

ББК В162р

Содержание стр.

ВВЕДЕНИЕ 4

1. Двойные интегралы 5

1.1. Свойства двойного интеграла 5

1.2. Вычисление двойного интеграла 6

1.3. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 6

1.4. Замена переменных в двойном интеграле 9

2. Тройные интегралы 13

2.1. Свойства тройного интеграла 13

2.2. Вычисление тройного интеграла 14

2.3. Замена переменных в тройном интеграле 18

3. Поверхностные интегралы 21

3.1. Способы задания поверхности 21

3.2. Сторона поверхности и её ориентация 21

3.3. Поверхностный интеграл первого рода 22

3.4. Сведение поверхностного интеграла первого рода к двойному. 22

3.5. Поверхностный интеграл второго рода 24

3.6. Сведение поверхностного интеграла второго рода к двойному 24

ЛИТЕРАТУРА 27

Введение

Настоящее учебно-методическое пособие составлено на основе многолетнего опыта проведения практических занятий по курсу математического анализа в Нижегородском Государственном университете на факультете Вычислительной Математики и Кибернетики. Содержание пособия отражает тему “Кратные интегралы и ряды”. Здесь поставлена цель – привить студенту умение грамотно выбрать правильный подход к решению конкретной задачи. Поэтому по каждому разделу приведено достаточное количество типовых решенных задач на двойные и тройные интегралы с необходимым методическим комментарием. Этому же способствуют излагаемые в начале каждого параграфа основные теоретические сведения, необходимые для решения последующих задач. Примеры, приведенные здесь, определяется содержанием лекций по кратным интегралам, а также порядком изложения этого материала.

Учебно-методическое пособие состоит из трех разделов и подразделов к ним. Раздел 1 посвящен интегралу от функции 2-х переменных, который называется двойным интегралом. Здесь изложены основные свойства двойного интеграла необходимые для его вычисления. Приведены формулы для вычисления интеграла в прямоугольнике и криволинейных трапециях. Изложены также приемы перемены порядка интегрирования. Представлен материал по замене переменных в двойном интеграле. Рассмотрены употребительные замены: полярная и ее обобщение. Приведены случаи частных замен для конкретных задач. Все это разобрано в примерах к каждому подразделу.

Раздел 2 посвящен интегралу от функции 3-х переменных, который называется тройным интегралом. В нем изложены основные свойства тройного интеграла необходимые для его вычисления. Приведены формулы для вычисления интеграла в параллепипеде и криволинейных цилиндрах. Изложены также приемы перемены порядка интегрирования. Представлен материал по замене переменных в тройном интеграле. Рассмотрены употребительные замены: цилиндрическая и сферическая. Разобранные примеры к каждому подразделу достаточно подробно показывают применение теоретического материала для решения задач.

Раздел 3 посвящен поверхностным интегралам 1-го и 2-го рода. Изложены их основные свойства и способы вычисления путем сведения к двойному интегралу. Разобранные примеры подробно показывают применение теоретического материала для решения задач.

Пособие будет полезно при проведении практических занятий, коллоквиумов, зачетов и экзаменов по курсу математического анализа и теме “Двойные, тройные и поверхностные интегралы”, а также для самостоятельной работы студентов факультета ВМК ННГУ.