3. Наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке
Задача
6. Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
Решение.
Если функция
непрерывна на замкнутом промежутке
,
то наибольшее и наименьшее значения
она принимает или на концах этого отрезка
или в точках ее экстремума. Следовательно,
для решения поставленной задачи надо
найти ее значения на концах отрезка
и в точках, принадлежащих этому отрезку,
подозрительных на экстремум. Затем из
них выбрать наименьшее и наибольшее
значения. Определяем критические, или
стационарные, точки функции
:
;
;
;
,
.
Рассматриваем только те стационарные точки, которые принадлежат отрезку .
Такой
точкой будет точка
(точку
получаем при
).
Вычисляя
значения функции на концах промежутка
и в точке
,
находим:
1)
;
2)
=
;
3)
=
.
Ясно,
что наибольшее значение функции будет
равно
,
которое она принимает в точке
;
наименьшее значение принимается функцией
в точке
и равно
.