3.Дифференциальная геометрия

Если в качестве параметра t

выбрана длина линии

l, то

| v | = 1;

l

называют нату-

ральным параметром кривой.

Кривизной

k линии r = r (l)

с натуральным параметром

l называется модуль векто-

ра ускорения:

k = | w (l) |.

Радиусом кривизны линии называется число R = 1/k.

Длина линии, задаваемой в параметрической форме

r = r (t) ≡ (x (t);

y (t)), от точки

t2

t2

(x (t1); y (t1)) до точки (x (t2); y (t2)): l = ∫

| v (t) | dt = ∫

x2 + y2

dt .

t1

t1

Уравнение касательной к линии x = x (t),

y = y (t) в точке t0:

Уравнение нормали к линии x = x (t),

y = y (t) в точке t0:

y − y(t ) = −

x(t0)

(x − x(t )) .

0

y(t0)

0

Единичный

вектор нормали n к кривой

x = x (t),

y = y (t)

с натуральным парамет-

ром

l: n =

w

=

1

(x(l); y(l)) .

|

w

|

x2 (l) + y2

(l)

Угол между двумя кривыми x = x1 (t), y = y1 (t)

и x = x2 (t),

y = y2 (t), пересекающи-

мися при t = t0 :

cos ϕ =

x1x2 + y1y2

.

x2 + y2

x2 + y2

1

1

2

2

t=t

0

Кривизна k линии x = x (t),

y = y (t)

( x2 + y2

≠ 0 ) : k =

| xy − yx |

.

(x2 + y2)3 2

Координаты центра круга кривизны линии x = x (t),

y = y (t) при t = t0:

x

= x(t ) − λy(t ),

y

= y(t ) + λx(t ),

где

λ = [(x2

+ y2) /(xy − xy)]

.

c

0

0

c

0

0

t=t0

Ф о р м у л ы Ф р е н е :

dv

= w = kn,

dn

= −kv .

dl

dl

24

II.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Уравнение соприкасающейся плоскости:

x − x(l0) y − y(l0) z − z(l0)

= 0.

x(l0)

y(l0)

z(l0)

x(l0)

y(l0)

z(l0)

Уравнение нормальной плоскости: x(l0) [x − x(l0)] + y(l0)[y − y(l0)] + z(l0) [z − z(l0)] = 0 .

x − x(l0)

y − y(l0)

z − z(l0)

Уравнение спрямляющей плоскости:

x(l0)

y(l0)

z(l0)

= 0 .

y

z

z

x

x

y

y z

l=l

z x

l=l

x y

l=l

0

0

0

3.4. Поверхности в трехмерном пространстве.

Способы задания поверхности:

— явный — функцией z = f (x, y);

— неявный — в виде уравнения F (x, y, z) = 0;

— параметрический — в векторном виде: r = r (u, v),

в координатном виде: x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v),

(1)

где u, v — гауссовы координаты поверхности.

Точка поверхности (x (u0, v0), y (u0, v0), z (u0, v0)) называется неособой, если функции

∂x

∂y

∂z

(1) имеют непрерывные частные производные и ранг матрицы

∂u

∂u

∂u

равен 2.

∂x

∂y

∂z

∂v

∂v

∂v

x − x(u0,v0)

=

y − y(u0,v0)

=

z − z(u0,v0)

.

∂y(u ,v )

∂z(u ,v )

∂z(u ,v )

∂x(u ,v )

∂x(u ,v )

∂y(u ,v )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

∂y(u0,v0)

∂z(u0,v0)

∂z(u0,v0)

∂x(u0,v0)

∂x(u0,v0)

∂y(u0,v0)

∂v

∂v

∂v

∂v

∂v

∂v

26

II.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

∂2r

,

∂r

,

∂r

M(u,v) = m

∂2r

=

∂u ∂v

∂u

∂v

,

∂u ∂v

EG − F2

∂2r

,

∂r

,

∂r

N(u,v) = m

∂2r

=

∂v2

∂u

∂v

.

∂v2

EG − F2

k

=

L(du)2

+ 2M du dv + N(dv)2

.

N

E(du)2 + 2F du dv

+G(dv)2

Т е о р е м а М е н ь е . Кривизна кривой

γ, лежащей на поверхности, связана с

кривизной нормального сечения формулой

k =

kN

, где 2 — угол между соприкасаю-

cos θ

щейся плоскостью кривой γ

и плоскостью нормального сечения.

В каждой точке поверхности существуют два главных нормальных сечения, для которых

kN принимает наибольшее

k1 и наименьшее k2 значения (главные кривизны), являющиеся

корнями характеристического уравнения*)

L − kE

M − kF

= 0 .

M − kF

N − kG

Средняя кривизна поверхности:

H(u,v) ≡

k1 + k2

=

1

EN − 2FM +GL .

2

2

EG − F2

Гауссова кривизна (полная кривизна) поверхности:

K(u,v) ≡ k k ≡ LN − M2 .

1 2

EG

− F2