1.Элементарная геометрия

1.2. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ.

11

2abcos

γ

2ac cos β

2

Биссектриса

l

a

к стороне a:

l

=

=

2

.

a

a

+ b

a + c

Р а в н о с т о р о н н и й

т р е у г о л ь н и к (со стороной a).

Площадь:

S = a2 3 .

4

Радиус описанной окружности:

R =

a 3

.

3

Радиус вписанной окружности:

r =

a

3

.

6

(с катетами a и b и гипотенузой c).

П р я м о у г о л ь н ы й т р е у г о л ь н и к

Площадь:

S =

1 ab.

2

1.2. Четырехугольники.

П р я м о у г о л ь н и к и к в а д р а т .

Площадь прямоугольника (со сторонами a и b):

S = a b.

Площадь квадрата (со стороной a): S = a2.

Р о м б .

Площадь: S = a2 sin γ = ah =

1 d d , где a – сторона, ( – угол,

2

1

2

Радиус вписанной окружности:

r =

1 h =

1 asin γ .

2

2

П а р а л л е л о г р а м м .

Площадь:

S = absin α = ah = bh =

1 dd sinβ,

a

b

2 1 2

где a и b — стороны, " — угол,

ha

и hb — высоты, опущенные

на

стороны a и b,

$ — угол между диагоналями d1 и

d2.

Связь между стороной и диагоналями:

d2

+ d2 = 2 (a2 + b2) .

1

2

S = a + b h .

Т р а п е ц и я

(с основаниями a, b

и высотой h). Площадь:

В ы п у к л ы й ч е т ы р е х у г о л ь н и к .

2

Площадь: S =

1 d d sin γ,

где

d1

и

d2 — диагонали, ( — угол между диагона-

2

1

2

12

II.1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Связь между сторонами и диагоналями: a2 + b2 + c2 + d2 = d2

+ d2

+ 4m2 , где a,

1

2

Число диагоналей выпуклого

n-угольника:

1 n(n − 3) .

2

Сторона правильного n-угольника:

a

= 2Rsin180°

= 2r tg 180° , где R — радиус

n

n

n

описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Площадь правильного n-угольника:

S

=

1

2

360°

= r

2

n tg

180°

=

1

a

2

nctg

180°

.

2

R nsin

n

n

4

n

n

n

1.4. Окружность и круг.

Длина окружности:

L = 2πR. Площадь круга:

S = πR2 =

πD2 .

4

Длина хорды:

a = 2Rsin

α .

2πRα

2

Длина дуги:

l =

.

360°

Площадь сектора:

S = πR2α .

360°

πα

1

2

Площадь сегмента:

S =

2

R

− sin

α .

180°

1.6. Призма.

Площадь боковой поверхности:

SБОК = PПL,

где PП — периметр перпендикулярного сечения, L — длина бокового ребра.

Объем призмы: V = SПL = SОСНH,

H — высота.

где SП — площадь перпендикулярного сечения,

1.10. КОНУС.

13

1.7. Пирамида.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

S =

1 Ph, где Р — периметр

основания, h — апофема.

2

Объем пирамиды:

V = 1 S

H ,

где S

осн

— площадь основания, H — высота.

3 осн

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:

S = 1 (P + p)h , где

Р, р — периметры оснований, h — апофема.

2

Объем усеченной пирамиды:

V =

1 H(S +

S S + S ) ,

где H — высота усеченной

3

1

1

2

2

V = a3;

S = 6a2;

R =

a 3

;

r = a ;

H = a.

2

2

Т е т р а э д р . Все четыре грани — равносторонние треугольники. Тетраэдр имеет

четыре вершины и шесть ребер.

V = a3 2 ;

S = a2 3 ;

R = a 6 ;

r = a 6 ;

H = a 6 .

12

4

12

3

О к т а э д р .

Все восемь

граней

— равносторонние

треугольники. Октаэдр имеет

шесть вершин и двенадцать ребер.

Д о д е к а э д р .

Все двенадцать граней — правильные пятиугольники. Додекаэдр

имеет двадцать вершин и тридцать ребер.

V = a3 (15 + 7 5)

; S = 3a2

5 (5 + 2

5) ; R = a 3(1 +

5) ; r = a 10 (25 +11 5) .

4

4

20

И к о с а э д р . Все двадцать граней — равносторонние треугольники. Икосаэдр име-

ет двенадцать вершин и тридцать ребер.

V = 5a3 (3 + 5) ;

S = 5a2 3 ; R = a 2 (5 + 5) ;

r = a 3 (3 + 5) .

12

4

12

Ф о р м у л а

Э й л е р а .

Число ребер L,

число

вершин N и число граней F

многогранников связаны равенством:

N – L + F = 2.