Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Математика

Файл:

Математические формулы - Цыпкин А.Г. Цыпкин Г.Г..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3029 30 > Следующая >>>

108

6. Вырожденные гипергеометрические функции

У р а в н е н и е К у м м е р а :

z d2w + (c + z) dw − aw = 0 ;

dz2

общее решение: w = AΦ(a, c; z) + BΨ(a, c; z)

(A и B — произвольные постоянные).

Ф у н к ц и я

К у м м е р а

Φ(a,

c; z)

(иногда обозначают M(a, c;

z)):

n−1

a (a +1)

∞

∏ (a + i)

Φ(a,c;z) = 1 + a

+… = 1 + ∑

i=0

n−1

c 1!

(

)

c +1

n=1 n! ∏ (c + i)

i=0

Функция Ψ(a,

z) (иногда обозначают U(a, c; z)):

Φ(a,c;z)

1−c Φ(1 + a − c,2 − c;z)

Ψ(a,c;z) =

− z

Γ(1 + a − c) Γ(c)

Γ(a) Γ(2 − c)

sin πc

Интегральные представления:

Γ(c)

Φ(a,c;z) =

∫

eztta−1

− t

c−a−1 dt;

Γ(c − a) Γ(a)

(

)

Ψ(a,c;z) =

∞∫e−zt (t −1)a−1 tc−a−1dt.

Γ(a)

Дифференцирование:

dnΦ

Γ(a + n) Γ(c)

Φ(a + n,c + n;z);

dzn

Γ(c + n) Γ(a)

dnΨ

= (−1)

n Γ(a + n)

Ψ(a + n,c + n;z).

dzn

Γ(a)

Рекуррентные формулы:

Ф о р м у л а К у м м е р а :

Φ(a,c;z) = ezΦ(c − a,c; −z) ;

(

)

− c

(

c −1 + z

)

Φ(a,c;z) +

(

− a

)

z Φ(a,c +1;z) = 0;

−1 Φ(a,c −1;z)

c Φ(a,c;z) − c Φ(a −1,c;z) − z Φ(a,c +1;z) = 0;

(a −1 + z)Φ(a,c;z) + (c − a) Φ(a −1,c;z) − (c −1) Φ(a,c −1;z) = 0;

(

??c + z

)

Φ(a,c;z)

−

(

c − a

)

z Φ(a +

1,c;z) +

(

)

Φ(a,c −1;z) = 0;

(a − c +1)Φ(a,c;z) − a Φ(a +1,c;z) + (c −1)Φ(a,c −1;z) = 0;

(

(c − a)Φ(a −1,c;z) + (2a − c + z) Φ(a,c;z) − a Φ(a +1,c;z) = 0;

)

(

c −

1 + z

)

Ψ(a,c;z) + z Ψ(a,c +1;z) = 0;

c − a −1 Ψ(a,c −1;z) −

Ψ(a,c;z) − a Ψ(a +1,c;z) − Ψ(a,c −1;z) = 0;

(c − a)Ψ(a,c;z) − z Ψ(a,c +1;z) + Ψ(a −1,c;z) = 0;

(a −1 + z)Ψ(a,c;z) − Ψ(a −1,c;z) + (a − c +1)Ψ(a,c −1;z) = 0; (a + z)Ψ(a,c;z) + a (c − a −1)Ψ(a +1,c;z) − z Ψ(a,c +1;z) = 0; Ψ(a −1,c;z) − (2a − c + z)Ψ(a,c;z) + a (a − c +1)Ψ(a +1,c;z) = 0.

VI.6. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

109

Некоторые частные случаи:

Φ(a,a;z) = ez ;

Φ(1,2;2z) = ez

sh z;

e−iz

Φ(1,2; −2iz) =

sin z;

; −z

erf z;

Φ(a,a +1; −z) = a z				−a	γ(a,z);
Φ(a,a +1; −z) = a z					γ(a,z);				Φ ν +
	(		)
	(		)
Ψ	1	− a,1 − a;z		= ezΓ(a,z);							Ψ		ν

						1	,	1	;z	2		=
					Ψ	2	,	2	;z			=
						2		2

У р а в н е н и е У и т т е к е р а :

1 ,2ν +1;2z	= Γ(1	+ ν) ez z		−ν	I (z);
2			2		ν
2			2

(2z)

−ν

,2ν +1;2z

Kν (z);

π ez2

erfc z.

d2w +

+ i

(1 4 − µ

)

−

w = 0

;

dz2

решения: функции Уиттекера Mi,µ(z) и Wi,µ(z).

Связь между функциями Уиттекера:

Wi,µ (z) =

Γ(−2µ)

Mi,µ

(z) +

Γ(2µ)

Mi,−µ (z).

+ µ −i

− µ −i

Связь с вырожденными гипергеометрическими функциями:

(z) = e−z2

z12 +µ Φ

µ −i+

1 ,2µ +1;z

;

i,µ

(z) = e−z2

z12 +µ Ψ

µ −i+

1 ,2µ +1;z

i,µ

110

7. Некоторые интегральные функции

И н т е г р а л в е р о я т н о с т е й :

erf(z) =

∫z e−t2 dt; erf(−z)

Разложение в ряд:

2 ∞ (−1)n z2n+1

∞

2n z2n+1

erf(z) =

∑

e−z

∑

2n +1

1 3 … (2n +1)

n=0

′

−z2

Дифференцирование:

erf (z)

И н т е г р а л ы Ф р е н е л я :

				z
C(z) =		1		∫cost t dt =
C(z) =		2π		∫cost t dt =
				0
			z
S(z) =	1		∫sintt dt =
S(z) =	2π		∫sintt dt =
			0


2z		∞		(−1)n z2n
	π	∑n=0			;
				(4n +1)(2n)!
2z	∞			(−1)n z2n+1
π	∑n=0					.
			(4n + 3)(2n +1)!

Связь с интегралом вероятностей:

C(z) + iS(z) =

−i

C(z) − iS(z) =

−i

4 erf (e

4 z);

erf (e

∞

Д з е т а -

ф у н к ц и я Р и м а н а :

ζ(z) = ∑

(Re z > 1) .

n=1

Разложение

бесконечное

произведение:

ζ(z) = ∏(1 − p−z )−1

= −erf(z) .

z).

(Re z > 1),

где бесконечное произведение вычисляется по всем простым числам p. Интегральное представление:

− 21−z

)

ζ(z) =

1 ∞

tz−1

dt (Re z > 0);

Γ(z) ∫et +1

(

ζ(z) =

∞ tz−1

(

Re z > 1 .

Γ(z) ∫et −1

)

Рекуррентные соотношения:

ζ(1 − z) =		2			cos	πz Γ(z) ζ(z);
ζ(1 − z) =			(2π)z		cos	πz Γ(z) ζ(z);
			(2π)z			2
Частные значения:
ζ(0)	= − 1			;		ζ(−2n) = 0;
		2
				ζ(1 − 2n) = −			B2n
				ζ(1 − 2n) = −			2n
							2n
ζ(2)	=	π2		;		ζ(4) = π4 ;
		6				90

z (z +1) ζ(z + 2) ζ(1 − z) = −4π2 .

ζ(z) ζ(−1 − z)

ζ(2n) = (−1)n−122n−1 π2n B2n ; (2n) !

(Bk − числа Бернулли);
ζ(6) =	π6	;	ζ(8)	=	π8	.
	945				9450

VI.7. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ		111
И н т е г р а л ь н а я п о к а з а т е л ь н а я ф у н к ц и я :
Ei(z) = −Γ(0,ze−iπ) = −∞∫et−t	dt .
z

Разложение в ряд:

Ei(z) = γ − iπ + ln z + ∑∞ zn ; n=1 n n!

∞	xn
Ei(−x) = γ + ln x + ∑(−1)n	xn
		.
	n n!	.
n=1

И н т е г р а л ь н ы й л о г а р и ф м :	li(z) = ∫z	dt	.
		lnt
	0
Связь с интегральной показательной функцией:	li(z) = Ei(ln z); Ei(z) = li(ez) .

И н т е г р а л ь н ы й с и н у с и и н т е г р а л ь н ы й к о с и н у с :

si(z) = ∫z sint t dt =		1	[Ei(iz) − Ei(−iz)];
si(z) = ∫z sint t dt =		2i	[Ei(iz) − Ei(−iz)];
∞
ci(z) = ∫z cost t dt = 12 [Ei(iz) + Ei(−iz)].
∞
Другие обозначения: Si(z) = si(z) + 2π = ∫z sint t dt;						Ci(x) = ci(z) .
Разложение в ряд:		0
Разложение в ряд:	∞
si(z) = − π	∞			z2n+1
	+ ∑(−1)n			z2n+1				;
	+ ∑(−1)n				)(	)		;
2		(		2n +	)(	)
2	n=0			2n +	1 2n	+1 !
	n=0
		∞			z2n
ci(z) = γ + ln z + ∑(−1)n					z2n		.
ci(z) = γ + ln z + ∑(−1)n					2n (2n)!		.
		n=1

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3029 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
24.05.2014148.24 Кб55Криптография от папируса до компьютера - В.Жельников.pdf
#
24.05.201414.81 Mб28Математическая энциклопедия (т.1).djvu
#
24.05.201418.46 Mб23Математическая энциклопедия (т.3).djvu
#
24.05.201421.95 Mб24Математическая энциклопедия (т.4).djvu
#
24.05.201420.59 Mб30Математическая энциклопедия (т.5).djvu
#
24.05.20141.01 Mб32Математические формулы - Цыпкин А.Г. Цыпкин Г.Г..pdf
#
24.05.2014117.25 Кб17О формулах простых чисел - Белотелов В.А..doc
#
24.05.20146.68 Mб152Основы исследования операций том 1 - Вагнер Г..pdf
#
24.05.201413 Кб4Полеты во сне и наяву - Hиколай Субботин.txt
#
24.05.2014804.35 Кб31Почему семейная терапия - Вирджиния Сатир.doc
#
24.05.2014316.12 Кб16Признак разрешимости Диофантовых уравнений (ВТФ, гипотеза Биля). - Белотелов В.А..pdf