4. Функции Бесселя

VI.4. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

105

Произведение функций Бесселя:

Jν (z) Jµ (z) =

∞

(−1)k (z 2)ν+µ+2k Γ(ν + µ + 2k +1)

.

∑k! Γ(µ + k +1) Γ(ν + k +1) Γ(ν + µ + k +1)

k=0

Рекуррентное соотношение (здесь f — любая из функций J, Y, H(1), H(2)):

f

(z) + f

(z) =

2ν

f (z) .

ν−1

ν+1

z ν

J

(z) = (−1)n+1Y

(z);

Y

(z) = (−1)n J

(z).

−n−1 2

n+1 2

−n−1 2

n+1 2

Связь с элементарными функциями:

J

(z) = (−1)n

2

zn+1

1

d n sin z

;

n+1 2

πz

z

z dz

Y

(z)

= (−1)n+1

2

zn+1

1 d n cos z

;

n+1 2

πz

z

z dz

J

(z) J

(z) + J

(z) J

(z) = 2sin νπ ;

ν

−ν+1

−ν

ν+1

πz

J (z)Y

(z)

−Y

(z) J

(z) =

2

.

ν

ν−1

ν

ν−1

πz

−

iπν

iπ

−π < arg z -

π

2

Jν (ze

2

)

;

e

2

Iν (z) =

3iπν

3iπ

π

−

e

2

Jν (ze

2

)

< arg z - π

;

2

Kν (z) =

π

[I−ν (z)

− Iν (z)];

2sin πν

I

(z) = I (z);

K

(z) = K (z);

I (−z) = (−1)n I (z) .

−n

n

−n

n

n

n

∞

(z 2)2k+ν

Разложение в ряд:

Iν (z) =

;

∑k! Γ(k + ν +1)

k=0

K (z) = 1 z

−n n−1

(n − k −1)!

− z

2

I (z) +

∑

+ (−1)n+1 ln

z

n

k!

4

2

n

2 2

k=0

(−1)n

z n

∞

(z2 4)k

+

∑

[ψ(k +1) + ψ(n

+ k +1)]

.

2

k!(n + k)!

2

Интегральные представления:

k=0

I (z)

= 1 π ez cos θ cos νθdθ − sin νπ ∞ e−z ch(t−νt) dt

arg z

< π

;

ν

π ∫

π

∫

2

0

0

π (z

2)

ν ∞

−zt

(t

2

−1)

ν−1 2

1

π

Kν (z) =

> −

<

e

dt

Re z

,

arg z

;

Γ(1 2

+ ν) ∫

2

2

1

I (z) =

1

π ez cos θ cos nθdθ.

n

π

∫0

Рекуррентные соотношения:

I

(z) − I

(z) =

2ν I (z);

K

(z) − K

(z) = −

2ν K (z).

ν−1

ν+1

z ν

ν−1

ν

+1

z

ν

Дифференцирование (f — любая из функций I ,

eiπν K ):

ν

ν

1 d

m

zν f

(z)

= zν−m f

(z);

1 d

m

z−ν f

(z)

= z−ν−m f

(z) .

ν

ν−m

ν

ν+m

z dz

z dz

VI.5. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ I И K

107

Связь модифицированных функций Бесселя с элементарными функциями:

I

(z) =

2

sh z;

1 2

πz

2sin (νπ)

I (z) I

(z) − I

(z) I

(z) = −

;

ν

−ν+1

−ν

ν−1

πz

K

(z) I (z)

+ K (z) I

(z) = 1 .

ν+1

ν

ν

ν+1

z