96

VI. Трансцендентные функции

1. Тригонометрические функции

1.1. Некоторые значения тригонометрических функций.

Аргумент

Функция

sin α

cos α

tg α

ctg α

0°

(0)

0

1

0

не определен

15°

π

3 −1

3 +1

2 − 3

2 + 3

2 2

2 2

12

18°

π

5 −1

5 + 5

5 −1

10 + 2 5

4

2 2

10 + 2 5

5 −1

10

30°

π

1

3

1

3

2

2

3

6

36°

π

5 − 5

5 +1

10 − 2 5

5 +1

2 2

4

5 +1

10 − 2 5

5

45°

π

2

2

1

1

2

2

4

54°

3π

5 +1

5 − 5

5 +1

10 − 2 5

4

2 2

10 − 2 5

5 +1

10

60°

π

3

1

3

1

2

2

3

3

72°

2π

5 + 5

5 −1

10 + 2 5

5 −1

2 2

4

5 −1

10 + 2 5

5

75°

5π

3 +1

3 −1

2 + 3

2 − 3

2 2

2 2

12

90°

π

1

0

не определен

0

2

98

VI.1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1.3. Формулы приведения.

Аргумент

Функция

β = π ± α

β = π ± α

β = 3π ± α

β = 2π − α

2

2

sin β =

cos α

sin α

– cos α

– sin α

cos β =

sin α

– cos α

± sin α

cos α

tg β =

ctg α

± tg α

ctg α

– tg α

ctg β =

tg α

± ctg α

tg α

– ctg α

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β;

cos (α ± β) = cos α cos β sin α sin β;

tg α ± tg β

ctg α ctg β 1

tg (α ± β) =

;

ctg (α ± β) = ctg β ± ctg α .

1 tg α tg β

tg 2α =

2 tg α

;

ctg 2α =

ctg2 α −1

;

− tg2 α

2 ctg α

1

sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α;

cos 3α = 4 cos3 α – 3 cos α;

tg 3α =

3 tg α − tg3 α

;

ctg 3α =

ctg3 α − 3 ctg

α

;

1

− 3 tg2 α

3 ctg2 α −1

sin

α

= ±

1 − cos α;

cos α

= ± 1 + cos α

;

2

2

2

2

tg α

= ±

1 − cos α

=

sin α

=

1 − cos α

;

1 + cos α

1 + cos α

2

sin α

ctg

α

= ±

1 + cos α

=

sin α

=

1 + cos α .

2

1 − cos α

1 − cos α

sin α

sin α + sinβ = 2sin

α + β cos α − β ;

sin α − sin

β = 2cos

α + β sin

α − β

;

2

2

2

2

cos α + cosβ = 2 cos

α + β cos α − β ;

2

2

cos α − cosβ = −2sin

α + β sin

α − β = 2sin

α + β sin

β − α

;

2

2

2

2

cos α + sin α =

2 cos (45° − α);

cos α − sin α = 2 sin (45° − α);

tg α ± tg β =

sin (α ± β)

;

ctg α ± ctg β =

sin (β ± α)

;

sin αsinβ

cos αcosβ

1.3. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ.

99

tg α + ctg β =

cos (α − β)

;

tg α − ctg β =

cos (α + β)

;

cos αsinβ

cos αsinβ

tg α + ctg α = 2 cosec 2α;

tg α − ctg α = −2 ctg 2α;

1 + cos α =

2

α

;

2

α

;

2 cos

2

1 − cos α = 2sin

2

2

α

;

2

α

;

1 + sin α = 2 cos

45° −

2

1 − sin α = 2sin

45° −

2

2 sin (45° ± α)

1 ± tg α =

;

cos α

1

± tg αtg β =

cos (α β)

;

ctg αctg β ±1 =

cos(α β)

;

cos αcosβ

sin αsinβ

1 − tg2 α = cos 2α

;

1 − ctg2 α = − cos 2α

;

cos2 α

sin2 α

tg2 α − tg2 β =

sin (α + β)sin (α − β)

;

cos2 αcos2 β

ctg2 α − ctg2 β =

sin (α + β)sin (β − α)

;

sin2 αsin2 β

tg2 α − sin2 α = tg2 α sin2 α;

ctg2 α − cos2 α = ctg2 α cos2 α.

sin αsinβsin γ =

1

sin (α + β − γ) + sin (β + γ − α) + sin (γ + α − β) − sin (α + β + γ) ;

4

sin αsinβcos γ =

1 −cos

(

α + β − γ

)

+ cos

(

β + γ − α

)

+ cos

(

γ + α − β

)

− cos

(

α + β + γ

;

4

)

sin αcosβcos γ =

1 sin

(

α + β − γ

)

− sin

(

β + γ − α

)

+ sin

(

γ + α − β

)

+ sin

(

α + β + γ

;

4

)

cos αcosβcos γ =

1

cos (α + β − γ)

+ cos (β + γ − α)

+ cos(γ + α − β)

+ cos(α + β + γ) .

4