Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Математика

Файл:

Математические формулы - Цыпкин А.Г. Цыпкин Г.Г..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3020 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

IV. Ряды и произведения

1. Числовые ряды

1.1. Основные определения.

В числовом ряде

∞
a1 + a2 +…+ an +… = ∑an	(1)

n=1

числа an называются членами ряда, а числа

Sm = a1 + a2 + … + am (m = 1, 2, …)

частичными суммами.

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел lim Sn = S. Число

n→∞

S называется суммой ряда. Если последовательность частичных сумм {Sn} не имеет конечно-

го предела, то ряд (1) называется расходящимся. Ряд с действительными членами, знаки которых зависят, в общем случае, от номера члена, называется знакопеременным.

∞

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если ряд

∑

сходится.

n=1

∞

Если ряд

∑an

сходится, а ряд

∑

расходится, то ряд

∑an называется услов-

но сходящимся.

n=1

1.2. Действия с рядами.

∞

Если ряд

∑an

сходится (сходится абсолютно), то ряд ∑can

также сходится (схо-

n=1

∞

дится абсолютно) и ∑can = c∑an .

n=1

∞

Если ряды

∑an

и ∑bn

сходятся (сходятся абсолютно), то ряд

∑(an + bn) также

n=1

∞

сходится (сходится абсолютно) и

∑(an + bn) = ∑an +

∑bn .

n=1

∞

Если ∑an и

∑bn

— абсолютно сходящиеся ряды, то их произведение — абсолют-

n=1

∞

∞ n−1

но сходящийся ряд и

∑an

∑bn = ∑∑ambn−m .

n=1

n=2 m=1

1.3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

Необходимое условие сходимости ряда: lim an = 0 .

n→∞

78	IV.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
					∞
К р и т е р и й	К о ш и . Для сходимости ряда ∑an необходимо и достаточно,
					n=1
чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер N = N(ε), что при n > N и p > 0
				n+p
				n+p
		Sn+p − Sn	=	∑ ai	< ε.
		Sn+p − Sn	=	∑ ai	< ε.
				i=n+1

Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.

∞

П р и з н а к с р а в н е н и я .

Если для ряда

∑an

существует такой ряд

n=1

∞

∑bn , что при n > N выполнено

an - bn , то из сходимости ряда

∑bn

следует сходи-

n=1

∞

мость ряда ∑an .

n=1

П р и з н а к Д а л а м б е р а .

Если

an > 0 и

lim

an+1

= q, то при

q < 1

ряд

n→∞

∞

∑an сходится, при q > 1

расходится.

n=1

∞

П р и з н а к К о ш и .

Если an . 0

lim n an = q ,

то при q < 1

ряд

∑

an схо-

n→∞

n=1

дится, при q > 1 расходится.

П р и з н а к Р а а б е .

Если

> 0

и lim

−1

= q ,

то при

q > 1

ряд

n→∞ an+1

∞

∑an сходится, при q < 1 расходится.

n=1						= λ + µ		θn
П р и з н а к Г а у с с а .			Если an > 0 и		an		+	θn	, где \| θn \| < c (c = const)
П р и з н а к Г а у с с а .			Если an > 0 и		an+1		+	n1+ε	, где \| θn \| < c (c = const)
					an+1	n		n1+ε
		∞
и ε > 0, то при λ > 1 ряд		∑an		сходится, при λ < 1 расходится. Если λ = 1, то при µ > 1
		n=1
∞
ряд ∑an сходится, при µ - 1				расходится.
n=1
И н т е г р а л ь н ы й			п р и з н а к		К о ш и .		Если		f(x) — неотрицательная
				∞
убывающая функция при		x . 1,		то ряд ∑f(n)		сходится или расходится одновременно с
	+∞∫ f(x) dx .			n=1
интегралом	+∞∫ f(x) dx .

1.6. НЕКОТОРЫЕ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ.	79
1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
∞
П р и з н а к Л е й б н и ц а . Знакопеременный ряд ∑(−1)n−1bn	(bn . 0) схо-
n=1
дится, если а) bn . bn+1, б) lim bn = 0 .
n→∞

Для остатка ряда Rn = (–1)nbn+1 + (–1)n+1bn+2 + … справедлива оценка Rn =

= (–1)n θn bn+1 (0 - θn - 1).

∞	∞
П р и з н а к А б е л я . Ряд ∑an bn	сходится, если а) ряд ∑an сходится;
n=1	n=1

б) числа bn образуют монотонную ограниченную последовательность.

∞

П р и з н а к Д и р и х л е . Ряд ∑an bn сходится, если а) последовательность

n=1

{bn} монотонно стремится к 0; б) последовательность частичных сумм {Sm} ограничена.

1.5. Свойства рядов.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка слагаемых.

Т е о р е м а Р и м а н а . Члены каждого условно сходящегося ряда с действительными членами можно представить так, что: а) последовательность его частичных сумм будет сходиться к любому заданному числу; б) последовательность его частичных сумм будет неограниченно возрастать; в) последовательность его частичных сумм будет неограниченно убывать; г) последовательность его частичных сумм будет колебаться между двумя любыми заданными числами.

1.6. Некоторые конечные суммы.

1 + 2 + 3 + … + n = n (n +1)

;

p + (p + 1) + (p + 2) + … + (p + n)=

(n +1)(2p + n)

;

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 ;

2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1) ;

1 + 8 + 16 + … + 8 (n – 1) = (2n – 1)2;

12 + 22 + 32 + … + n2 =

n (n +1) (2n +1)

;

13 + 23 + 33 + … + n3 =

(n +

1)2

;

12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2 =

n (4n2 −1)

;

13 + 33 + 53 + … + (2n – 1) 3 = n2 (2n2 – 1) ;

+ 24

+ 34 + … + n4 =

n (n +1) (2n

+1) (3n2 + 3n −1)

;

IV.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

sin n +1 x sin nx

sin x + sin 2x +…+ sin nx =

;

sin x

cos n +1 x sin nx

cos x + cos 2x +…+ cos nx =

;

sin x

nsin

2n +1 x sin x

− sin2 nx

cos x + 2 cos 2x +…+ ncos nx =

;

2 x

2sin

tg x +

1 tg x +

1 tg x +…

ctg

− 2 ctg 2x;

2 2

4 4

nsh

− sh

2 nx

sh n +

ch x + 2 ch 2x +…+ nch nx =

2sh2 x

1.7. Некоторые числовые ряды.

(2n) !

1 +

…

(числа Бернулли) ;

2n−1

22n+2 (2n) !

−

+…

(числа Эйлера) ;

2n+1

∞

1 1 1

∞

∑

1 +

+… = e ;

∑(−1)n

= 1 −

−

+… = e

;

n=0

∞

∑

(−1)n−1 n

= 1 −

− 4 +… = ln 2 ;

n=1

∞

∑

= 1 +

+ 1

+… = 2 ;

∑(−1)n

= 1 −

−

+… =

;

n=0

2 4

n=0

2 4

∞

∑

(−1)n

= 1 −

−

7 + 9

−… =

;

2n +1

n=0

∞

∑

+… = 1;

n (n +1)

1 2

2 3

3 4

n=1

∞

∑

+…

2 ;

(2n −1) (2n

+1)

1 3

3 5

5 7

n=1

∞

∑

+… =

;

(n −1) (n +1)

1 3

2 4

3 5

n=2

1.7. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

∞

∑

+… =

2 − 8

;

(4n −1) (4n +1)

3 5

7 9

11 13

n=1

∞

∑

+… = 4 ;

n (n +1) (n + 2)

2 3

2 3 4

n=1

∞

π2

∑

= 1 +

+… =

;

n=1 n

∞

+… = π2 ;

∑(−1)n−1

= 1

−

n=1

∞

π2

∑

= 1 +

+… =

;

(2n −1)

n=1

∞

π2

∑(−1)n−1

= 1 −

−

+ … =

;

(2n −1)

n=1

∞

π2

∑

= 1 +

… =

;

n=1 n

∞

+… = 7π4 ;

∑(−1)n−1

= 1

−

n=1

720

∞

π4 ;

∑

= 1 +

+… =

(2n −1)

n=1

∞

= 1 +

+… = π2k22k−1 B ;

∑n=1 n2k

22k

32k

42k

(2k) !

(

−1)

∞

2k−1

∑

(−1)n−1

= 1 −

−

+… =

B ;

n2k

22k

32k

42k

(2k) !

n=1

∞

π2k (22k −1)

∑

= 1

+… =

Bk ;

(2n −1)

n=1

2 (2k) !

∞

π2k+1

∑(−1)n−1

= 1 −

−

… =

Ek ;

(2n −1)2k+1

32k+1

52k+1

72k+1

22k+2 (2k) !

n=1

∞

1 + ∑

= ch1;

∑

= sh1;

(2n) !

(2n −1) !

n=1

∞

(−1)n−1

1 + ∑

(−1)n

= cos1;

∑

= sin1.

(2n) !

(2n −1)

n=1

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3020 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
24.05.2014148.24 Кб55Криптография от папируса до компьютера - В.Жельников.pdf
#
24.05.201414.81 Mб30Математическая энциклопедия (т.1).djvu
#
24.05.201418.46 Mб24Математическая энциклопедия (т.3).djvu
#
24.05.201421.95 Mб25Математическая энциклопедия (т.4).djvu
#
24.05.201420.59 Mб31Математическая энциклопедия (т.5).djvu
#
24.05.20141.01 Mб34Математические формулы - Цыпкин А.Г. Цыпкин Г.Г..pdf
#
24.05.2014117.25 Кб19О формулах простых чисел - Белотелов В.А..doc
#
24.05.20146.68 Mб164Основы исследования операций том 1 - Вагнер Г..pdf
#
24.05.201413 Кб4Полеты во сне и наяву - Hиколай Субботин.txt
#
24.05.2014804.35 Кб33Почему семейная терапия - Вирджиния Сатир.doc
#
24.05.2014316.12 Кб18Признак разрешимости Диофантовых уравнений (ВТФ, гипотеза Биля). - Белотелов В.А..pdf

IV. Ряды и произведения

1. Числовые ряды

1.1. Основные определения.

1.2. Действия с рядами.

1.6. НЕКОТОРЫЕ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ.

1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.

1.5. Свойства рядов.

1.7. Некоторые числовые ряды.