7.Кратные интегралы

Если интеграл, зависящий от параметра Φ(y) =

∫ f(x, y) dx,

где

ϕ(x)

и

ψ(x)

— не-

ϕ(x)

прерывные функции на

[a, b],

представляет собой функцию, интегрируемую на

[a, b],

то по-

b

ψ(x)

b ψ(x)

вторным интегралом ∫dx ∫

f(x, y) dy называется выражение

∫

∫ f(x, y) dy dx .

a ϕ(x)

a ϕ(x)

Двойным интегралом от функции

f(x, y) по квадрируемой замкнутой области

плос-

G

кости x, y называется

предел

∫∫

f(x, y) dx dy =

lim

∑∑

f(x , y )∆x ∆y

,

где

max ∆x →0

i j

i

j

G

max ∆yij →0

i

j

∆xi = xi+1 − xi , ∆yj = yj+1 −yj, (xi;yj) G

.

Тройным интегралом от функции

f(x, y, z) по кубируемой замкнутой области

трех-

V

где

∆xi = xi+1 −xi,

∆yj = yj+1 −yj,

∆zk = zk+1 −zk,

(xi;yj;zk) V

.

С в е д е н и е д в о й н о г о и н т е г р а л а к п о в т о р н о м у . Ес-

= {(x, y): a - x - b, y1(x) - y - y2(x)},

ли G

где y1(x), y2(x) — непрерывные функции

на [a, b], а f(x, y)

, то имеет место формула

непрерывна в G

y (x)

∫∫f(x, y) dx dy = ∫b dx 2∫ f(x, y) dy .

G

a

y1(x)

З а м е н а

п е р е м е н н ы х

в

д в о й н о м

и н т е г р а л е .

Пусть

G

uv

и Gxy

— квадрируемые замкнутые области соответственно на плоскостях

(x, y) и

(u, v); x = x(u, v),

y = y(u, v) — непрерывное отображение G

uv

на Gxy ,

взаимно однозначно

и непрерывно дифференцируемо отображающее G

uv

на

G .

Якобиан

∂ (x, y) отличен от

xy

∂ (u,v)

нуля на G

и непрерывно продолжаем*)

на

.

Тогда если функция

f(x, y) непрерывна в

uv

G

uv

G

xy , то имеет место формула

∫∫f(x, y) dx dy = ∫∫f[x(u,v), y(u,v)]

∂ (x, y)

du dv.

∂ (u,v)

Gxy

Guv

П о в е р х н о с т н ы й

и н т е г р а л

I

р о д а .

Если f(x, y, z) — функция,

определенная и непрерывная в точках поверхности

Σ,

то поверхностным интегралом I рода

называется выражение

∫∫f(x, y, z) dσ, определяемое равенством

Σ

∫∫f(x, y, z) dσ = ∫∫f(x(u,v), y(u,v),z(u,v)) EG − F2 du dv.

Σ

D

Значение интеграла I рода не зависит от выбора стороны поверхности.

П о в е р х н о с т н ы й

и н т е г р а л

I I р о д а .

Пусть Σ+

— сторона

поверхности Σ, задаваемая направлением нормали

n = {cos α;

cos β; cos γ};

P(x, y, z),

Q(x, y, z), R(x, y, z) — функции, определенные и непрерывные на поверхности Σ.

Поверхно-

стным интегралом II

рода называют выражение ∫∫P dydz + Qdz dx + Rdx dy, опреде-

ляемое равенством

Σ+

∫∫Pdydz + Qdz dx + Rdx dy = ∫∫(Pcos α + Qcosβ + Rcos γ) dσ.

Σ+

Σ

Для поверхности, заданной параметрически,

cos α =

A

;

cosβ =

B

; cos γ =

C

,

± A2 + B2 + C2

±

A2 + B2 + C2

± A2 + B2 + C2

где A = ∂(y, z) ; B =

∂(z, x) ; C = ∂(x, y) ,

а знак выбирается в зависимости от направления

∂(u,v)

∂(u,v)

∂(u,v)

нормали. При переходе к другой стороне Σ–

поверхности Σ интеграл II рода меняет знак на

противоположный.

Ф о р м у л а

Г р и н а .

Пусть G — ограниченная область на плоскости x, y с ку-

∂P

∂Q

на

имеет место формула*)

∂P

−

∂P

∫

P dx + Qdy . (Направле-

,

G

∂x

∂x

dx dy =

∫∫ ∂x

∂y

G

Γ

ние обхода по контуру выбрано так, что область G остается слева).

*) Символом

∫

обозначен интеграл по замкнутому контуру Г.