5.Определенный интеграл

ленным интегралом функции f(x)

на [a, b]

называется предел

n−1

lim

∑

f(ξ ) ∆x ,

(1)

max

∆x

→0

i

i

i

i=0

где ξi

[xi, xi+1], ∆xi = xi+1 − xi .

Функции f(x),

для которых этот предел существует,

называются интегрируемыми на отрезке [a, b].

b

Определенный интеграл обозначается

∫f (x)dx.

a

5.2. Свойства определенного интеграла.

b

1.

∫dx = b − a .

a

2. Если функция f(x)

интегрируема на [a, b], то функция f(x)

интегрируема и на отрез-

b

c

b

ках [a, c], [c, b] (a - c - b) и

∫f (x)dx = ∫f (x)dx + ∫f (x)dx.

a

a

c

b

a

3. Если функция f(x)

интегрируема на [a, b], то

∫f(x) dx = −∫f(x) dx .

a

b

4.

Если функция

f(x)

интегрируема на

[a, b], то и функция

| f(x) | интегрируема на

b

b

[a, b] и

∫f(x) dx

- ∫

f(x)

dx .

a

a

5. Если функция f(x)

интегрируема на [a, b], то и функция kf(x) (k = const) интегри-

b

b

руема на [a, b] и

∫kf(x) dx = k∫f(x) dx.

a

a

6.

Если функции

f(x) и

g(x)

интегрируемы на

[a, b], то и функции f(x) + g(x) и

b

b

b

f(x) g(x) интегрируемы на [a, b]

и

∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx .

a

a

a

7. Если функции f(x)

и g(x)

интегрируемы на [a, b] и f(x) . g(x) на [a, b], то

b

b

∫f(x) dx . ∫g(x) dx .

a

a

П е р в а я

т е о р е м а

о

с р е д н е м .

Если функции f(x) и g(x) интегри-

руемы на [a, b],

m - f(x) - M и если g(x)

не меняет знак на [a, b], то существует такое

b

b

число µ[m, M],

что

∫f(x) g(x) dx = µ∫g(x) dx .

a

a

64

III.5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

В т о р а я

т е о р е м а о с р е д н е м . Если функция f(x) непрерывна, а

b

ξ

b

ξ [a, b], что ∫f(x) g(x) dx = g(a) ∫f(x) dx + g(b) ∫f(x) dx .

a

a

ξ

Ф о р м у л а

Н ь ю т о н а - Л е й б н и ц а . Если функция f(x) определена и

b

непрерывна на [a, b]

и F ′(x) = f(x), то

∫f(x) dx = F(b) − F(a) ≡ F(x)

ab .

b

β

′

a = g(α), b = g(β), a - g(x) - b, то ∫f(z) dz = ∫f( g(x)) g

(x) dx .

a

α

И н т е г р и р о в а н и е п о

ч а с т я м .

Если функции f(x) и g(x) непре-

рывны на [a, b] вместе со своими первыми производными, то

b

b

b

′

′

∫f(x) g (x) dx

= f(x) g(x)

a − ∫g(x) f (x) dx.

a

a

И н т е г р а л ь н о е н е р а в е н с т в о

М и н к о в с к о г о . Если функ-

ции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b],

1 < p < +∞, то

b

1 p

b

1 p

b

1 p

f(x) + g(x)

p dx

-

f(x)

p dx

+

g(x)

p dx .

∫

∫

∫

a

a

a

И н т е г р а л ь н о е

н е р а в е н с т в о

Г ё л ь д е р а .

Если функции f(x)

и g(x) интегрируемы на [a, b],

1 < p < +∞, 1 +

1 = 1,

то

p

q

b

b

1 p

b

1 q

∫

f(x) g(x)

dx -

∫

f(x)

p dx

∫

g(x)

q dx .

a

a

a

При p = q = 2 неравенство Гёльдера превращается в неравенство Коши.

И н т е г р а л

с п е р е м е н н ы м

в е р х н и м

п р е д е л о м .

Если

x

функция f(x) непрерывна на [a, b], то функция

F(x) = ∫f(t) dt

непрерывна на [a, b].

a

x0 [a,b],

Если функция f(x) интегрируема на [a, b]

и непрерывна в точке

то функ-

x

ция F(x) = ∫f(t) dt

дифференцируема в точке x0 и F ′(x0) = f(x0).

a

5.3. Приложения определенного интеграла.

Д л и н а к р и в о й .

Если кривая задана функцией y = f(x)

(x [x0, x1]),

то

5.3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

65

x1

l = ∫

′

2

dx.

1 + (f )

x0

Если кривая задана параметрически: x = ϕ(t),

y = ψ(t), то

t1

l = ∫ ϕ′2 (t) + ψ′2 (t) dt.

t0

Если кривая задана в полярных координатах: ρ = ρ(ϕ) (ϕ0 - ϕ - ϕ1), то

ϕ1

l = ∫

2

′2

dϕ.

ρ

+ ρ

ϕ0

П л о щ а д ь

т р а п е ц и и . Если функция y = f(x) неотрицательна и непрерыв-

на на [a, b],

то площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox,

графиком функ-

b

ции y = f(x)

и прямыми x = a и x = b, вычисляется по формуле S = ∫f(x) dx .

a

П л о щ а д ь

с е к т о р а

OAB, ограниченного кривой AB, заданной в полярных

(ϕ0 - ϕ - ϕ1),

и радиусами OA и OB: S = 1

ϕ1

координатах:

ρ = ρ(ϕ)

∫ ρ2dϕ.

2

ϕ

0

О б ъ е м т е л а в р а щ е н и я , полученного в результате вращения вокруг оси

Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции

y = f(x), пря-

66

III.5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

К о о р д и н а т ы

ц е н т р а

т я ж е с т и

к р и в о л и н е й н о й

т р а п е ц и и с постоянной поверхностной плотностью δ(x, y) = 1,

ограниченной графи-

ком непрерывно дифференцируемой функции y = f(x),

осью Ox и прямыми x = a и x = b:

x =

1

b xf(x) dx,

y =

1

b f2

(x) dx,

S

0

∫

0

2S ∫

a

a

где S — площадь криволинейной трапеции.

М о м е н т

и н е р ц и и о т н о с и т е л ь н о

о с и Oy кривой, задаваемой

непрерывно дифференцируемой функцией y = f(x), с линейной плотностью δ(x):

b

Iy = ∫δ(x) x2 1 + f′2 (x) dx .

a

М о м е н т

и н е р ц и и о т н о с и т е л ь н о

о с и

Oy

криволинейной

трапеции, ограниченной графиком непрерывно дифференцируемой функции

y = f(x), осью

Ox и прямыми x = a, x = b,

с постоянной поверхностной плотностью δ(x, y) = 1:

0

∞∫e−x2 ln x dx = −

π

(γ + 2 ln 2);

4

0

∞

π

π2

∫

2

2

e−x

ln2 x dx =

(γ + 2 ln 2)

+

;

8

2

0

+∞ sin x

π

∫

dx =

2 ;

x

0