3.Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x)

называется первообразной

функции f(x)

на промежутке X*), если функ-

ция

непрерывна на X и F′(x) = f(x) во всех внутренних точках.

Неопределенным интегралом от функции

f(x) на промежутке X называют, и обознача-

ют

∫f(x) dx ,

множество всех первообразных:

∫f(x) dx = F(x) + C (C = const).

3.2. Свойства неопределенного интеграла.

Если функция

f(x)

имеет первообразную на промежутке

X, то для внутренних точек

промежутка

d

∫f(x) dx = f(x) .

dx

Если функция

f(x) непрерывна на промежутке X и дифференцируема в его внутренних

точках, то

∫df(x) = f(x) + C .

Если функция

f(x) имеет первообразную на промежутке

X, а k — число, то для функ-

ции kf(x)

существует первообразная и ∫kf(x) dx =k∫f(x) dx .

Если функции

f(x)

и g(x)

имеют первообразную на промежутке

X,

то функция

f(x) + g(x)

также имеет первообразную и ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx .

И н т е г р и р о в а н и е

п о ч а с т я м .

Если функции f(x)

и

g(x) непре-

рывны на промежутке X,

дифференцируемы в его внутренних точках и существует интеграл

∫g(x) df(x) ,

то на X существует и интеграл ∫f(x) dg(x)

и

∫f(x) dg(x) = f(x) g(x) − ∫g(x) df(x) .

И н т е г р и р о в а н и е

п о д с т а н о в к о й

( з а м е н а

п е р е -

м е н н о й )

.

Если функция f(z) определена и имеет первообразную на промежутке Z, а

функция z = g(x) непрерывна на промежутке

X, дифференцируема в его внутренних точках

и g(X) Z, то функция f(g(x)) g′(x) имеет первообразную на X и

∫xα dx =

xα+1

+ C (α ≠ −1) ;

постоянную C далее везде опускаем;

α +1

∫ax dx =

ax

;

∫

dx

= ln | x | (x ≠ 0)

ln a

x

∫sin x dx = −cos x;

∫cos x dx = sin x;

∫tg x dx = −ln

cos x

;

∫ctg x dx = ln

sin x

;

∫sh x dx = ch x;

∫ch x dx = sh x;

38

III.3. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

∫

dx

= −ctg x;

∫

dx

= tg x;

2

2

x

sin

x

cos

∫

dx

= −cth x;

∫

dx

= th x;

2

x

2

x

sh

ch

∫

dx

=

1

arctg

x

(a ≠ 0);

∫

dx

=

1

x − a

(a ≠ 0);

ln

x

2

2

a

x

2

2

x + a

+ a

a

− a

2a

∫

dx

= arcsin

x

(

x

< a);

∫

dx

= ln

x +

x2 ± a2

(a ≠ 0);

a2 − x2

a

x2 ± a2

π

x

∫

dx

= ln

x

∫

dx

= ln

+

tg

;

tg

4

;

sin x

2

cos x

2

∫th x dx = ln ch x;

∫cth x dx = ln

sh x

;

∫

dx

x

∫

dx

= 2arctg ex.

= ln

th

;

sh x

ch x

2