§ 9. Расчет цилиндрической прямозубой передачи на контактную прочность

3.43. Расчет прочности контактирующих поверхностей зубьев основан на ограничении наибольших нормальных напряжений.

При выводе формул приняты следующие допущения: зубья рассматри­вают как два находящихся в контакте цилиндра с параллельными образую­щими (радиусы этих цилиндров принимают равными радиусам кривизны профилей зубьев в полюсе зацепления); нагрузку считают равномерно рас­пределенной по длине зуба; контактирующие профили предполагают не­разделенными масляной пленкой.

На основании этих допущений к расчету зубчатых колес можно приме­нить результаты исследований на контактную прочность цилиндрических роликов. Наибольшие нормальные контактные напряжения возникают в точках, лежащих на очень малой глубине под линией контакта по формуле Герца—Беляева:

(3.16)

где q — расчетная удельная нормальная нагрузка; Е_пр — приведенный мо­дуль упругости материалов зубьев; ρ_пр — приведенный радиус кривизны профилей зубьев шестерни и колеса; ц — коэффициент Пуассона. Для прямозубых колес без учета коэффициентов нагрузки

q = F_т /l_∑, (3.17)

где F_n = F,/cosa_ω — нормальная сила, действующая на зуб (см. рис. 3.35); F_t — окружная сила; l_∑ = b_ωK_εε_a — суммарная длина контактной линии (для прямозубых передач 1_∑ = Ь_ω — ширина венца, так как K_εε_a ≈1,0; здесь К_ε = 0,95 — коэффициент, учитывающий непостоянство суммарной длины контактной линии); ε_a — коэффициент перекрытия.

Для учета неравномерности распределения нагрузки по длине контакт­ных линий, а также для учета динамических нагрузок вследствие погреш­ности изготовления и деформации деталей передачи вводят коэффициент нагрузки К= К_НβК_НV (см. табл. 3.4—3.5).

Отсюда

(3.18)

Приведенный модуль упругости Е_пр = 2Е₁Е₂/(Е₁ + Е₂), где Е_х и Е₂ — мо­дули упругости материалов шестерни и колеса.

Зубья рассматриваются как цилиндры длиной Ь_а (ширина зубчатого ко­леса) и радиусов ρ₁ и ρ₂, где

Приведенный радиус кривизны зубьев в полюсе

Здесь знак «плюс» для внешнего зацепления, знак «минус» — для внут­реннего зацепления.

Подставляя значения ρ_пр и q в формулу (3.17), после преобразований получим

(3.19)

Обозначим в формуле (3.19) выражение через Z_H — коэффи­циент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев;

= Z_м — коэффициент, учитывающий механические свойства

материалов сопряженных колес (Z_M = 275 МПа^1/2 — для стальных колес);

= Z_z — коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линии для прямозубых передач.

Получим расчетную формулу, рекомендуемую для проверочного расчета:

(3.20)

После подстановки значений F_t= 2T₂/d₁u; d₁ = 2a_ω/(u 1) и b_ω =Ψi_baa_w в формулу (3.20) и некоторых преобразований получим удобную для расчета формулу

(3.21)

Значение Ψ_Ьа определяют по формуле Ψ_Ьа = 2Ψ_ba/(u+ 1) (Ψ_bd — см. табл. 3.7).

Расшифруйте формулу (3.21) и подставьте единицы измерения парамет­ров, входящих в эту формулу.

3.44. После некоторых преобразований формулы (3.21) получим формулу проектировочного расчета для определения межосевого расстояния прямозу­бых зубчатых передач:

Обозначим через вспомогательный коэффициент

К_а (для прямозубых передач при K_Hv = 1,25, К_а = 49,5 МПа^1/3).

Тогда формула проектного расчета для определения межосевого рас­стояния закрытых цилиндрических передач

(3.22)

Проанализируйте формулы (3.17), (3.21), (3.22). В каких зубьях {шестер­ни или колеса) возникает большее нормальное контактное напряжение?

3.45. Допускаемые контактные напряжения (МПа) при расчете рабочих поверхностей на усталостное выкрашивание рассчитываются по формуле

[σ]_н = (σ_Hlimb /S_H)Z_RK_HL,

где σ_Hlimb — предел выносливости рабочих поверхностей зубьев (табл. 3.9). соответствующий базовому числу циклов перемены напряжений N_Hlim, МПа (база испытаний N_H0 определяется по табл. 3.10);

S_H — коэффициент безопасности {S_H= 1,1 при нормализации, улучше­нии или объемной закалке; при поверхностной закалке и цементации S_H=1,2);

Z_R — коэффициент, учитывающий шероховатость сопряженных по­верхностей зубьев (Z_R = 1 ÷ 0,9);

K_HL — коэффициент долговечности, который учитывает влияние срока службы, режима нагрузки передачи и возможность повышения допускае­мых напряжений для кратковременно работающих передач.

Таблица 3.9. Пределы контактной выносливости σ_Hlimb

σHlimb , МПа	Материал	Твердость поверхностей зубьев (средняя)	Термическая обработка зубьев
2 НВ + 70 18 HRC+ 150 17 ЯЛС+200	Сталь углеродистая и легированная	НВ < 350 HRC 38-50 HRC 40-50	Нормализация, улучшение Объемная закалка Поверхностная закалка
23HRC 1050	Сталь легированная	HRC> 56 HV 550-750	Цементация и нитроцемен-тация Азотирование

Таблица 3.10. Базовое число циклов NHO
Твердость поверх­ностей зубьев НВ	До 200	250	300	350	400	450	500	550	600
NHO, МЛН ЦИКЛОВ	10	17,0	26,4	38,3	52,7	70	90	113	140

При постоянной нагрузке К_HL = (или

N_H= 573ωct_∑) — циклическая долговечность (см. шаг 3.40).

При переменной нагрузке расчетная циклическая долговечность опре­деляется по формуле:

N_HE = 60 · п · с · t_∑ · K_HE,

где К_НЕ — коэффициент приведения переменного режима нагружения к постоянному эквивалентному

В расчетные формулы (3.21) и (3.22) входит меньшее из допускаемых напряжений, установленных для шестерни и колеса. Так как материал ко­леса имеет обычно меньшую твердость, чем материал шестерни, то в боль­шинстве случаев [σ]_н для колеса меньше.

В табл. 3.9 даны значения предела выносливости σ_Hlimb (база испыта­ний) для различных материалов зубчатых колес.

По данным примера (шаг 3.40) определить допускаемые контактные на­пряжения для шестерни колеса прямозубой передачи.