2.5. Геометрическое определение вероятности

Еще один важный класс моделей вероятностных пространств дают так называемые геометрические вероятности. Пусть – область евклидова n-мерного пространства с конечным n-мерным объемом. Событиями назовем подмножества , для которых можно определить n-мерный объем. За множество событий можно принять так называемую -алгебру B борелевских подмножеств . За вероятность события B примем

,

(2.2)

где – мера множества (длина, площадь, объем и т.д., в зависимости от размерности того пространства, в котором рассматриваются данные множества).

В частности, можно выделить следующие три случая.

1. Пусть отрезок составляет часть отрезка . На отрезок наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка , то вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством

.

(2.3)

2. Пусть плоская фигура составляет часть плоской фигуры . На фигуру наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно , ни от формы , то вероятность попадания точки в фигуру определяется равенством

.

(2.4)

3. Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру , которая составляет часть фигуры :

.

(2.5)

Пример 2.12. На отрезок , имеющий длину 40 см, помещен меньший отрезок длиной 15 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок.

Решение. Обозначим событие: А – точка, наудачу поставленная на отрезок , попадет также и на отрезок .

Найдем вероятность события А, применив формулу (2.3).

Вероятность события А равна .

Пример 2.13. Внутрь круга радиуса брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в этот круг правильного треугольника.

Решение. Обозначим событие: А – точка, наудачу брошенная в круг, окажется внутри вписанного в этот круг правильного треугольника.

Найдем вероятность события А, применив формулу (2.4).

Площадь круга радиуса равна . Площадь вписанного в круг правильного треугольника равна , где - сторона треугольника. Кроме того, , поэтому . Следовательно, вероятность события А равна

.

Пример 2.14 (Задача о встрече). Два товарища условились встретиться в определенном месте между 12 часами и половиной первого дня. Пришедший первым ждет первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча товарищей состоится, если каждый из них наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 часов до половины первого) и моменты прихода обоих независимы.

Решение. Обозначим событие: А – встреча товарищей состоится.

Найдем вероятность события А, применив формулу (2.4).

Обозначим момент прихода одного из них через x (мин), а момент прихода другого через y (мин). Тогда время прихода товарищей можно отождествить с точкой декартовой плоскости. Все возможные исходы испытания изображаются точками квадрата: , площадь которого .

Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: . Исходы испытания, благоприятствующие событию А, можно определить множеством: (рис. 5).

рис. 5	рис. 6

.

Следовательно, вероятность события А равна

.

Пример 2.15. Наудачу взяты два неотрицательных числа , каждое их которых не больше единицы. Найти вероятность того, что их сумма окажется меньше либо равна 1, а произведение – не больше .

Решение. Обозначим событие: А – сумма наудачу взятых чисел меньше либо равна 1, а произведение – не больше .

Найдем вероятность события А, применив формулу (2.4).

Множество элементарных исходов можно отождествить с точками квадрата: , площадь которого .

Исходы испытания, благоприятствующие событию А, можно определить множеством: . Вычислим площадь области :

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы :

,

откуда, .

Следовательно, вероятность события А равна

.