- •Элементы линейной алгебры
- •1. Операции над матрицами. Свойства операций.
- •2. Определители 2-го и 3-го порядков. Минор и алгебраическое дополнение. Определитель n-го порядка. Свойства определителей.
- •3. Обратная матрица. Теорема существования обратной матрицы.
- •4. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Формулы Крамера.
- •5. Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений.
- •6. Решение систем методом Гаусса.
- •Векторная алгебра
- •7. Линейные операции над векторами. Базис.
- •8. Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат. Координаты точки. Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •9. Скалярное произведение векторов, его свойства. Вычисление в координатах.
- •10. Определение правой тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл.
- •11. Смешанное произведение 3-х векторов, его свойства. Геометрический смысл. Вычисление в координатах. Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов.
- •16. Виды уравнений прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой.
- •17. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми.
- •18. Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между ними.
- •19. Каноническое уравнение эллипса, эксцентриситет, директриса.
- •20. Канонические уравнение гиперболы, эксцентриситет, директриса, асимптоты.
- •21. Каноническое уравнение параболы
- •27. Основные элементарные функции и их графики.
- •28. Предел числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Свойства бесконечно малых.
- •29. Основные теоремы о пределах последовательностей.
- •30. Первый и второй замечательные пределы. Число е.
- •31. Предел функции. Основные теоремы о пределах функций.
- •32. Замечательные пределы для функций.
- •33. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
- •34. Непрерывные функции. Классификация точек разрыва.
- •35. Свойства непрерывных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •36. Определение производной, ее геометрический смысл.
- •37. Дифференцируемость и непрерывность. Правила дифференцирования.
- •38. Производная сложной функции, функции, заданной неявно, заданной параметрически, обратной функции.
- •39. Производные основных элементарных функций.
- •41. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •42. Теорема Ферма. Теорема Ролля.
- •43. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Теорема Коши.
- •44. Правило Лопиталя.
- •45. Возрастание и убывание дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.
- •46. Экстремум дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.
- •47. Теорема (второе достаточное условие экстремума).
- •48. Выпуклость функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости. Точки перегиба.
- •49. Асимптоты графика функций.
Элементы линейной алгебры
1. Операции над матрицами. Свойства операций.
Матрицей, размера n*m называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Операции:
1) Сложение. Складываются матрицы только одного размера. Получается матрица того-же размера.
2) Умножение матрицы на число. Умножать можно любую матрицу на число. Полученная матрица того-же размера.
3) Произведение матриц. Произведение A*B определено, если число столбцов A = числу строк матрицы B.
Свойства:
1) A + B = B + A
2) (A + B) + C = A + (B + C)
3) A + 0 = A
4) α(A + B) = αA + αB
5) α(β*A) = (α β)*A
6) (α + β)*A = α*A + A*β
7) A*0 = 0
8) A*B ≠ B*A
9) (A*B)*C = A*(B*C)
10) (A+B)*C = A*C + B*C
11) α(A*B) = (α*A)*B = A*( α*B)
12) A*E = E; E*A = A E – единичная матрица.
свойства транспонирования:
1) (At)t =A
2) (A+B)t=At+Bt
3) (A*B)t = Bt * At
4) (α*A)t = α*At
2. Определители 2-го и 3-го порядков. Минор и алгебраическое дополнение. Определитель n-го порядка. Свойства определителей.
Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Минором Mij элемента aij называется определитель матрицы, полученной из матрицыA= (aij) вычёркиваниемi-ой строки иj-го столбца.
Например, есть матрица: Предположим, надо найти минор
Получаем
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число Aij = (-1)i+j * Mij
Определитель n-ого порядка есть сумма произведений элементов 1 строки на их алгебраические дополнения.
Свойства:
1) Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
и т.д.
2) |A| = |At|
3) Если в определителе поменять местами любые 2 строки (или столбца), то определитель поменяет знак на противоположный.
4) Если в определителе к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на число, то определитель не изменится.
5) Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения другой строки = 0.
6) |A*B| = |A| * |B|
3. Обратная матрица. Теорема существования обратной матрицы.
Обратной матрицей к квадратной матрице А порядка n называется такая квадратная матрица B порядка n, что A*B = E и B*A = E. Если существует обратная матрица, то она единственна.
B = A-1 – обратная матрица.
Теорема: Обратная матрица A-1 для A существует тогда и только тогда, (<=>) когда |A| ≠ 0 (когдаA– невырожденная матрица)
Доказательство:
4. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Формулы Крамера.
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
AX = B D - расширенная матрица
Формулы Крамера:
Пример:
x1+ x2+ x3+ x4= 5,
x1+ 2x2- x3+ 4x4= -2,
2x1- 3x2- x3- 5x4= -2,
3x1+ x2+2x3+ 11 x4= 0.
Решение. Главный определитель этой системы
значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители ∆ i( i = 1 - 4), получающиеся из определителяпутем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi,столбцом из свободных членов:
Отсюда x1= D1/= 1, x2=2/= 2, x3=3/= 3, x4=4/= -1