2.4. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности

Рассмотрим конечное вероятностное пространство. В этом случае – конечное пространство, A – алгебра всех подмножеств множества (ввиду конечности A эта алгебра автоматически представляет собой -алгебру). Вероятность для любого подмножества из в этом случае можно задать следующим образом. Пусть заданы неотрицательные числа такие, что . Вероятность определим как сумму

.

Легко видеть, что так определенная вероятность (вместе с ) удовлетворяет всем аксиомам А1. – А4. Обозначим – число элементов в множестве , – число элементов в множестве . В случае, когда все элементарные исходы равновозможные, то есть все равны друг другу, получаем классическое определение вероятности. Так как , то и

.

(2.1)

Таким образом, вероятность события – это отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию , к общему числу элементарных исходов.

Пример 2.8. В программе для компьютера, написанной в Турбо Паскале, использована функция , генерирующая целые числа от 1 до х. Какова вероятность того, что при выполнении этой функции появится число, делящееся на 5, если х=100?

Решение. Обозначим событие: А – при значении х=100 появится число, делящееся на 5. Найдем вероятность события А, применив формулу (2.1).

При х=100 может появиться любое из 100 имеющихся целых чисел, следовательно, общее число исходов испытания .

Для того, чтобы найти число исходов благоприятствующих событию А, воспользуемся признаком делимости чисел на 5. На 5 делятся числа, оканчивающиеся цифрами 0 или 5. Среди 100 целых чисел есть 20 таких чисел, следовательно, .

Вероятность события А равна

.

Пример 2.9. Ребенок играет с буквами разрезной азбуки. Какова вероятность того, что, разложив в ряд буквы К, И, Р, Д, А, Н, З, П, он составит слово ПРАЗДНИК?

Решение. Обозначим событие: А – ребенок составит слово ПРАЗДНИК. Найдем вероятность события А, применив формулу (2.1).

Общее число исходов испытания получим, используя формулы комбинаторики. Всего имеется 8 элементов – 8 букв, нас интересуют различные перестановки из этих элементов, следовательно, .

Число исходов испытания, благоприятствующих событию А, равно , так как требуется составить слово с буквами, расставленными в определенном порядке, и эти буквы различны.

Вероятность события А равна

.

Пример 2.10. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашены. Сборщик наудачу выбрал 3 детали. Найти вероятность того, что все выбранные детали окрашены.

Решение. Обозначим событие: А – все три выбранные детали окрашены. Найдем вероятность события А, применив формулу (2.1).

Общее число исходов испытания получим, используя формулы комбинаторики. Испытание заключается в выборе 3 деталей из 15 имеющихся. Таким образом, общее число исходов – это число всевозможных наборов по 3 элемента, которые можно составить из множества, состоящего из 15 элементов, не учитывая порядок, то есть .

Число исходов испытания, благоприятствующих событию А, равно числу всевозможных наборов по 3 детали, которые можно составить из множества окрашенных деталей, то есть .

Вероятность события А равна .

Пример 2.11. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

Решение. Обозначим событие: А – среди отобранных студентов 5 отличников. Найдем вероятность события А, применив формулу (2.1).

Здесь – общее число способов выбора 9 студентов из 12, .

Число исходов испытания, благоприятствующих событию А, вычисляем по правилу произведения , где – число возможных наборов из 8 отличников по 5, – число возможных наборов по 4 из остальных студентов.

Вероятность события А равна

.