2. Основные понятия теории вероятностей

2.1. Алгебра событий

Определение 2.1. Испытание (опыт) – это осуществление некоторого комплекса условий, в которых наблюдается случайный процесс или явление.

Определение 2.2. Полем событий (пространством элементарных исходов) называют совокупность всех исходов испытаний (опыта). Элементы этого множества называются элементарными событиями (элементарными исходами), .

Определение 2.3. Случайным событием или просто событием будем называть подмножество множества , .

Определение 2.4. Операции над событиями:

- говорят, что событие благоприятствует событию , если как только произошло событие , то произошло событие (рис. 1). Обозначают .

- говорят, что событие равносильно событию , если событие благоприятствует событию , а благоприятствует . Обозначают .

- событие называется объединением событий и , если событие происходит тогда и только тогда, когда происходит либо , либо , либо и вместе (рис. 2). Обозначают .

- событие называется пересечением событий и , если событие происходит тогда и только тогда, когда происходят события и вместе (рис. 3). Обозначают .

- событие называется разностью событий и , если событие происходит тогда и только тогда, когда событие происходит, а не происходит (рис. 4). Обозначают .

Пространство элементарных исходов - достоверное событие, пустое множество - невозможное событие.

рис. 1	рис. 2	рис. 3	рис. 4

Определение 2.5. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании, то есть .

Определение 2.6. Говорят, что события образуют полную группу, если любые два из них несовместны и хотя бы одно непременно должно произойти в результате испытания: , для любых .

Определение 2.7. Событие называется противоположным событию , если происходит тогда и только тогда, когда не происходит, .

Можно дать еще одно определение противоположного события.

Определение 2.8. Событие называется противоположным событию , если выполнены следующие условия: 1) ; 2) .

2.2. Вероятностное пространство

Определение 2.9. Назовем класс A подмножеств пространства алгеброй множеств, если

1) A , A ;

2) если A , то и A ;

3) если A , то и A , A .

Определение 2.10. Алгебра множеств A называется - алгеброй, если из того, что A , следует, что A, A.

Определение 2.11. Тройку ( , A, Р), где - пространство элементарных событий, A – -алгебра подмножеств , Р – числовая функция, определенная на событиях и называемая вероятностью, будем называть вероятностным пространством, если выполнены следующие аксиомы:

А1. для всех A (неотрицательность Р);

А2. (нормированность Р);

А3. , если (аддитивность Р);

А4. Если , то есть и , то (непрерывность Р).

Из этих аксиом вытекают следующие свойства вероятности:

1. Если , то ;

2. Если , то ;

3. Для любого A ;

4. ;

5. .