5.3. Непрерывные случайные величины

Определение 5.6. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функцию распределения можно представить в виде

.

(5.1)

Функцию называют плотностью распределения (вероятностей) случайной величины Х.

Предполагается, что несобственный интеграл в формуле (5.1) сходится.

Свойства плотности распределения .

1. для всех – условие неотрицательности плотности.

2. – условие нормировки.

3. .

4. Если – дифференцируемая функция, то .

Рассмотрим наиболее важные распределения непрерывных случайных величин.

1. Равномерное распределение. Говорят, что непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность распределения

Функция распределения в этом случае определяется выражением:

Заметим, что равномерное распределение реализует схему геометрической вероятности при бросании точки на отрезок .

2. Показательное распределение. Говорят, что непрерывная случайная величина распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если она имеет плотность распределения

где – параметра показательного распределения.

Функция распределения показательного распределения имеет вид

3. Нормальное распределение. Случайная величина имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами , если ее плотность распределения имеет вид

.

При – это так называемое стандартное нормальное распределение, плотностью которого является встречавшаяся ранее функция Гаусса

.

Функция распределения нормального распределения случайной величины является интегралом, не выражаемым через элементарные функции:

.

При произвольных значениях параметров для функции нормального распределения справедлива формула

,

где – интеграл Лапласа (таблица 3 приложения). При этом вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ,

.

(5.2)

Пример 5.3. Задана плотность распределения непрерывной случайной Х:

Найти постоянный параметр А, функцию распределения . Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

Решение. 1. Для нахождения постоянного параметра А воспользуемся условием нормировки плотности распределения: . Тогда для заданной функции получаем:

,

отсюда и плотность распределения примет вид:

2. Найдем функцию распределения .

Если , то , следовательно, .

Если , то .

Если , то .

Таким образом, искомая функция распределения

3. .

Пример 5.4. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

Решение. Воспользуемся формулой (5.2), тогда

.

По таблице 3 приложения находим:

, ,

откуда окончательно получаем

.

5.7. Числовые характеристики случайных величин

1. Математическое ожидание.

Определение 5.6. Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

.

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

.

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Определение 5.7. Математическим ожиданием (средним значением) непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения называется интеграл

,

причем предполагается, что этот несобственный интеграл сходится абсолютно, в противном случае считается, что не существует.

Свойства математического ожидания.

1. , .

2. , .

3. Для любых случайных величин : .

4. Для любых .

5. Если случайные величины – независимы, то .

6. Если , то .

7. Если , то .