4. Повторение испытаний

4.1. Формула Бернулли

При практическом применении теории вероятностей часто приходиться встречаться с задачами, в которых в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно.

Определение 4.1. Последовательные испытания – это последовательное проведение раз одного и того же опыта или одновременное проведение одинаковых опытов.

Определение 4.2. Говорят, что последовательные испытания удовлетворяют схеме Бернулли, если выполняются следующие условия:

1. при каждом испытании различают лишь два исхода: событие А произошло или произошло его отрицание (то есть событие А не произошло);

2. все испытания являются независимыми, то есть вероятность появления события А в k-ом испытании не зависит от исходов ни одного из испытаний до k-го;

3. вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна (вероятность неудачи при этом ).

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при испытаниях событие А произошло ровно k раз и, следовательно, не произошло n-k раз. Искомую вероятность обозначают . Поставленную задачу решает так называемая формула Бернулли.

Теорема 4.1 (Формулы Бернулли). Пусть реализуется схема Бернулли. Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз, равна

.

(4.1)

Вероятность того, что из n испытаний по схеме Бернулли событие А произойдет не менее l раз и не более m раз, равна

.

(4.2)

Вероятность того, что из n испытаний по схеме Бернулли событие А произойдет хотя бы один раз, равна

.

(4.3)

Пример 4.1. Оптовая база снабжает 5 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,3 независимо от заявок других магазинов. Найти вероятность того, что в день 1) поступит три заявки; 2) не менее трех заявок; 3) хотя бы одна заявка.

Решение. Поступление или не поступление заявки можно рассматривать как одно испытание по схеме Бернулли, здесь . Вероятность успеха (поступления заявки) , вероятность неудачи . Искомые вероятности вычислим, используя формулы Бернулли.

1. Используя формулу (4.1), получаем

.

2. По формуле (4.2):

.

3. По формуле (4.3):

.

Определение 4.3. Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.

Теорема 4.2. Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключено между числами и . При этом

1. если число – дробное, то существует одно наивероятнейшее число ;

2. если число – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: и ;

3. если число – целое, то наивероятнейшее число .

Пример 4.2. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержит испытание.

Решение. Из условия задачи: . Из теоремы 4.2. найдем наивероятнейшее число . , . Так как – дробное число, то существует одно наивероятнейшее число , заключенное между числами 13,5 и 14,4 и это число – 14. Таким образом, .