3.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса

Определение 3.4. Набор событий называется полной группой событий, если они попарно не пересекаются и их объединение есть достоверное событие: .

Теорема 3.4 (Формула полной вероятности). Пусть , – полная группа событий, и , тогда вероятность события А, которое может наступить лишь при выполнении одной из гипотез , равна

.

(3.6)

Теорема 3.5 (Формула Байеса). Пусть даны полная группа событий и некоторое событие А, которое может наступить лишь при появлении одной из гипотез . Тогда для любого условная вероятность события при условии, что событие А произошло, может быть вычислена по формуле

.

(3.7)

Пример 3.6. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение. Введем обозначения: событие A – извлечен белый шар. Возможны следующие гипотезы о первоначальном составе шаров:

- нет белых шаров;

- один белый шар;

- два белых шара.

Данные гипотезы образуют полную группу, поэтому в силу теоремы 3.4 имеем:

.

Так как по условию все гипотезы равновероятны и , то

.

Вычислим теперь условные вероятности.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров,

.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар,

.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара,

.

Окончательно получаем

.

Пример 3.7. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат дает 0,3% брака, второй – 1,5%. Наудачу берется деталь на проверку. Она оказалась бракованной. Какова вероятность, что она изготовлена первым автоматом?

Решение. Введем обозначения: событие A – деталь оказалась бракованной. Можно выдвинуть следующие гипотезы:

- деталь изготовлена первым автоматом;

- деталь изготовлена вторым автоматом.

Так как первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй, то

, .

Условная вероятность того, что деталь будет бракованной, при условии, что она изготовлена первым автоматом,

.

Условная вероятность того, что деталь будет бракованной, при условии, что она изготовлена вторым автоматом,

.

Тогда по формуле полной вероятности

.

Искомая вероятность того, что бракованная деталь будет изготовлена первым автоматом, по формуле Байеса (3.7) равна

.

Расчетное задание №5

5. 1. На автобазе работает 30% водителей 1-ого класса, 50% 2-ого класса и 20% - 3-его класса. Вероятности попасть в аварию для них соответственно равны 0,01; 0,03 и 0,01. На линии произошла авария. Какова вероятность того, что за рулем был водитель 1-ого класса.

   2. Область А состоит из 4-х частей, составляющих 50, 30, 12 и 8% всей области. Событие происходит при попадании точки в одну из частей с вероятностями 0,01; 0,05; 0,2 и 0,5. Событие произошло. Какова вероятность того, что точка попала в первую часть области А.

   3. Стрельба производится по 5 мишеням типа А, 3-м – типа В и 2-м типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4; типа В – 0,1; типа С – 0,15. Выстрел в одну мишень дал попадание. Найти вероятность того, что поражена мишень типа С.

   4. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6; 2 – с вероятностью 0,5. Стрелок сделал выстрел, но в мишень не попал. Какова вероятность того, что он из первой группы.

   5. В ящиках находятся соответственно: 1) 2 белых и 3 черных шара; 2) 4 белых и 3 черных; 3) 6 белых и 2 черных шара. Предполагая, что извлечение из всех 3-х ящиков равновероятно, определить вероятность того, что извлечение было произведено из 1-ого или 3-его ящика, если извлеченный шар оказался белым.

   6. Бросается монета. Если она выпадает гербом кверху, то вынимаем шар из урны №1, в противном случае – из урны №2. В урне №1 3 красных и 1 белый шар. В урне №2 2 красных и 3 белых шара. Вынутый шар оказался красным. Какова вероятность того, что он вынут из урны №1.

   7. Участники соревнований разделены на 3 группы: старшая – 5 человек, средняя – 4 человека, младшая – 10 человек. Вероятности занять 1-е место для члена каждой из групп равны соответственно 0,15; 0,05 и 0,005. Какова вероятность того, что чемпион из средней группы.

   8. Трое охотников выстрелили по зверю, который был убит одним выстрелом. Найти вероятность того, что зверь убит первым охотником, если вероятности попадания для 3-х охотников соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,6.

   9. Нина, Оля и Лена моют после обеда посуду. Лена выполняет 40% всей работы, а остальную Нина и Оля делят поровну. Для Лены вероятность разбить посуду равна 0,02, а для Нины и Оли соответственно – 0,03 и 0,05. Сегодня тарелка разбита. Какова вероятность того, что посуду мыла Лена?

   10. Судно может встать под разгрузку на любой из 3-х причалов, однако к моменту прихода судна первый причал может освободиться с вероятностью 0,9; второй – 0,5; третий – 0,7. Какова вероятность, что в момент прихода судно срезу встанет под разгрузку на третий причал.

   11. Два завода производят одинаковую продукцию, причем первый дает 70%, а второй – 30%. Брак первого завода составляет 3%, второго – 12%. Взятый наугад образец оказался бракованным. Какова вероятность того, что он сделан на втором заводе.

   12. Индикатор принадлежит с вероятностями 0,2; 0,3 и 0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 1; 0,75 и 0,5. От индикатора получен правильный сигнал. Какова вероятность того, что он получен от индикатора второго типа?

   13. Первый рабочий делает за смену 40 деталей, второй – 45 деталей, третий – 50 деталей. Вероятности получения брака для них соответственно равны 0,03: 0,05 и 0,02. Из общей выработки взята деталь, которая оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она сделана третьим рабочим.

   14. В партии механизмов 50% 1-ого сорта, 40% 2-ого сорта и 10% 3-его сорта. Брак среди механизмов каждого сорта составляет соответственно 2%, 4% и 7%. Механизм оказался бракованным. Какова вероятность того, что он первого сорта.

   15. Вероятность выполнить работу без ошибок для 10 студентов равна 0,95; для 15 – 0,7; для 3 – 0,2. Преподаватель берет наудачу одну тетрадь для проверки. Какова вероятность того, что работа выполнена без ошибок?

   16. Каждый из танков независимо сделал выстрел по некоторому объекту. Вероятность поражения цели первым танком 0,8; вторым – 0,4. Объект поражен одним попаданием. Определить вероятность того, что объект поражен первым танком.

   17. 60% проезжающих мимо АЗС автомобилей – грузовые. Из них – 20% обычно заезжают для заправки. Из легковых машин на заправку заезжают 35%. Найти вероятность того, что заехавший на заправку автомобиль – легковой.

   18. У рабочего три ящика с деталями. В первом из 25 деталей 2 бракованные, во втором 24 годных и одна бракованная, в третьем – все годные. Рабочий из наудачу выбранного ящика извлекает три детали. Найти вероятность того, что одна из них бракованная.

   19. 80% холодильников производятся на оборонных предприятиях, а 20% - на гражданских. Брак оборонных заводов составляет 5%, гражданских – 12%. Купленный холодильник имеет брак. Какова вероятность того, что он произведен на оборонном заводе.

   20. На сборку поступают 500 деталей с первого автомата, 200 – со второго и 300 – с третьего. Процент брака среди деталей, изготовленных первым автоматом, равен 3%, вторым – 5% и третьим – 4%. Наудачу выбранная деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь была изготовлена вторым автоматом.

   21. В стройотряде 70% первокурсников и 30% студентов второго курса. Среди первокурсников 10% девушек, а среди студентов второго курса – 5% девушек. Все девушки по очереди дежурят на кухне. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на кухне дежурит первокурсница.

   22. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

   23. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 0,8; 0,7 и 0,75. При одновременном выстреле всех трех стрелков – двое попали в цель. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.

   24. Определить вероятность того, что 100 лампочек, наудачу взятых из 1000, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек из 1000 штук равновозможно от 0 до 3.

   25. Из полного набора костей домино наудачу берут 2 кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.