3.2. Независимость событий
Понятие
независимости является одним из основным
понятием теории вероятностей. Если
события
и
таковы, что
,
то
существует условная вероятность
.
В
случае, когда
,
говорят, что событие
не зависит от события
.
Если и
,
то
в этом случае
,
и из независимости от следует независимость от , то есть понятие независимости и симметрично. Из теоремы умножения вероятностей (3.2) вытекает следующее определение независимости событий и .
Определение 3.2. События и называются независимыми, если
|
(3.4) |
.Если равенство (3.4) не выполняется, то события называют зависимыми.
Свойства независимых событий.
1.
Если события
и
–
независимые, то независимыми так же
являются следующие пары событий:
и
,
и
,
и
.
2.
Пусть событие
таково, что
.
События
и
–
независимы тогда и только тогда, когда
выполнено соотношение:
.
3.
Если событие
таково, что
или
,
то любое событие
A
не зависит от
.
Определение
3.3. События
называются независимыми в совокупности,
если для любых
,
,
выполняются равенства
|
,в противном случае события называются зависимыми.
Если в теореме 3.1. события являются независимыми в совокупности, то формула (3.3) примет вид
|
(3.5) |
.То есть вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.
Пример 3.2. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,8, а второго – 0,6. Найти вероятность того, что 1) оба стрелка попали по мишени; 2) только первый стрелок попал по мишени.
Решение.
Введем
обозначения: событие
– первый стрелок попал в мишень,
–
второй стрелок попал в мишень. По условию:
,
.
Событие – оба стрелка попали по мишени. Данное событие наступит при одновременном попадании стрелков, поэтому
.
В силу независимости событий
и
имеем:
.Событие – только первый стрелок попал по мишени. Данное событие наступит тогда, когда первый стрелок попадет, а второй не попадет по мишени, поэтому
.
.
В силу свойств независимых событий,
события
и
так же являются независимыми, откуда
получаем
.
3.3 Теоремы сложения вероятностей
Теорема 3.2 (Теорема сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
|
.Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
|
.
Теорема 3.3 (Теорема сложения вероятностей совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
|
.Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий:
|
.
Пример 3.3. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех положенных ему вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?
Решение.
Введем
обозначения: событие A
– студент сдал зачет,
– студент ответил на 4 вопроса,
–
студент ответил на 3 вопроса. Тогда
.
События
и
являются несовместными, тогда по теореме
3.2 получаем
.
,
,
,
.
,
,
,
в
итоге получаем
.
Пример 3.4. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1, 2 и 3 справочнике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: 1) только в одном справочнике (событие A); 2) только в двух справочниках (событие B); 3) во всех трех справочниках (событие С); 4) ни в одном справочнике (событие D); 5) хотя бы в одном справочнике (событие Е).
Решение.
Введем
обозначения: событие
– формула находится в
-ом
справочнике (i=1,
2, 3).
По условию:
,
;
,
;
,
.
1)
,
тогда в силу теорем 3.1 и 3.2 получаем:
.
2)
,
аналогично в силу теорем 3.1 и 3.2 получаем:
.
3)
,
.
4)
,
.
5)
Для вычисления вероятности события E
перейдем к противоположному событию,
–формула
не содержится ни в одном из справочников,
то есть
=
,
.
Откуда получаем:
.
Пример 3.5. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают одну карту. Найти вероятность того, что эта карта пиковая или туз.
Решение. Введем обозначения: событие A – вынута пиковая карта или туз, – вынута пиковая карта, – вынут туз. Тогда . События и являются совместными, тогда по теореме 3.3
,
где
,
.
,
поэтому
.
Окончательно получаем:
.