2.6. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

Определение 2.15. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Таким образом, относительная частота события А определяется формулой:

,

где – число появлений события, – общее число испытаний.

Сравнивая классическое определение вероятности и определение относительной частоты, можно сделать вывод, что определение вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности (то есть вычисляется до опыта), а определение относительной частоты предполагает, что испытания были проведены фактически (то есть вычисляется после опыта).

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Пример 2.16. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления герба. Результаты нескольких опытов приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Число бросаний	Число появлений герба	Относительная частота
4040	2048	0,5069
12000	6019	0,5016
24000	12012	0,5005

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем данное отклонение тем меньше, чем больше число испытаний (при 4040 испытаниях отклонение составляет 0,0069, а при 24000 – лишь 0,0005). Учитывая, что вероятность появления герба при подбрасывании монеты равна 0,5, видим, что относительная частота колеблется около вероятности.

3. Основные теоремы теории вероятностей

3.1. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Определение 3.1. Пусть . Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие В, называют отношение:

.

(3.1)

Для условной вероятности применяется также обозначение .

Свойства условных вероятностей.

1. ;

2. ;

3. ;

4. если , то ;

5. .

Формулу (3.1) можно переписать в виде

.

(3.2)

Равенство (3.2) называют теоремой умножения для двух событий. С помощью (3.2) по индукции легко доказывается более общая

Теорема 3.1 (Теорема умножения). Пусть события таковы, что , тогда

.

(3.3)

Пример 3.1. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника в переплете.

Решение. Введем обозначения: событие – первый взятый учебник имеет переплет, – второй учебник имеет переплет. Вероятность того, что оба учебника имеют переплет, вычисляется по формуле (3.2):

.

– вероятность того, что первый учебник имеет переплет, . – вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при условии, что первый взятый учебник был в переплете, , следовательно

.